Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過(guò)矩形ABCO的頂點(diǎn)B、C，D為BC的中點(diǎn)，直線AD與y軸交于E點(diǎn)，點(diǎn)F在直線AD上且橫坐標(biāo)為6．

（1）求該拋物線解析式并判斷F點(diǎn)是否在該拋物線上；
（2）如圖，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；
同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AE以每秒

13

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①問(wèn)EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出A，C，D的坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線解析式，再求出AD的解析式，再利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出即可；
（2）①首先得出P點(diǎn)位置，再求出FC的解析式，即可得出t的值；
②分別根據(jù)當(dāng)PM=HM時(shí)，當(dāng)PH=HM時(shí)，當(dāng)PH=PM時(shí)求出即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過(guò)矩形ABCO的頂點(diǎn)B、C，D為BC的中點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），A點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3），
將B，C點(diǎn)代入y=-

1

2

x²+bx+c得：

c=3 -8+4b+c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴該拋物線解析式為：y=-

1

2

x²+2x+3，
設(shè)過(guò)D，A的直線解析式為：y=ax+k，
則

4a+k=0 2a+k=3

，
解得：

a=- 3 2 k=6

，
∴直線AD的解析式為；y=-

3

2

x+6，
∵點(diǎn)F在直線AD上且橫坐標(biāo)為6，
∴y=-

3

2

×6+6=-3，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，-3），將F點(diǎn)代入拋物線解析式得出：右邊=-

1

2

×36+12+3=-3，
∴F點(diǎn)在該拋物線上；

（2）①∵E（0，6），
∴CE=CO，
如圖1，
連接CF交x軸于H′，過(guò)H′作x軸的垂線交BC于P′，
當(dāng)P 運(yùn)動(dòng)到P′，當(dāng)H運(yùn)動(dòng)到H′時(shí)，EP+PH+HF的值最�。�
設(shè)直線CF的解析式為y=ax+b
∵C（0，3）、F（6，-3）
∴

b=3 6a+b=-3

，
∴

a=-1 b=3

，
∴y=-x+3；
當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴H′（3，0）
∴CP=3，
∴t=3；
②如圖2，過(guò)M作MN⊥OA交OA于N，
∵NM∥EO，
∴△AMN∽△AEO，
∴

AM

AE

=

AN

AO

=

MN

EO

，
∵EO=6，AO=4，
∴AE=2

13

，
∴

13 2 t

2 13

=

AN

4

=

MN

6

，
∴AN=t，MN=

3

2

t
I．如圖2，當(dāng)PM=HM時(shí)，M在PH的垂直平分線上，
∴MN=

1

2

PH，
∴MN=

3

2

t=

3

2

，
∴解得：t=1
II．如圖3，當(dāng)PH=HM時(shí)，MH=3，MN=

3

2

t，
HN=OA-AN-OH=4-2t，
 在Rt△HMN中，
MN²+HN²=MH²，
（

3

2

t）²+（4-2t）²=3²，
整理得：25t²-64t+28=0 
解得：t₁=2（舍去），t₂=

14

25

，
III．如圖4，如圖5，當(dāng)PH=PM時(shí)，PM=3，MT=|3-

3

2

t|，
PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
在Rt△PMT中，MT²+PT²=PM²，
（3-

3

2

t）²+（4-2t）²=3²，
整理得出：25t²-100t+64=0，
解得：t₁=

16

5

，t₂=

4

5

，
∴綜上所述：t=

14

25

，

4

5

，1，

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)分類討論的思想得出注意不要漏解是解題關(guān)鍵．