Question

（2013•老河口市模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連接CC′交斜邊于點(diǎn)E，CC′的延長(zhǎng)線(xiàn)交BB′于點(diǎn)F．
（1）證明：△AC C′∽△AB B′；
（2）設(shè)∠ABC=α，∠CAC′=β，試探索α、β滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)AC=BF，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′，再由相似三角形的判定方法直接得出結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論可以得出∠ACE=∠ABF，還有∠AEC=∠BEF，只要由一邊對(duì)應(yīng)BE、CE相等就可以利用三角形全等得出結(jié)論，就需要β=2α，然后順推就可以得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的
∴AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′
∴

AC

AB

=

AC′

AB′

∴△AC C′∽△AB B′；

（2）當(dāng)β=2α?xí)r，AC=BF．
理由：解：∵AC=AC′
∴∠AC C′=∠A C′C=

1

2

（180°-∠C AC′）=90°-

1

2

β=90°-α，
∵∠BCE=∠ACB-∠A C C′=90°-（90°-α）=α，
∴∠BCE=∠ABC，
∴BE=CE．
∵△AC C′∽△AB B′，
∵∠ACE=∠ABF．
在△AEC和△FEB中，

∠ACE=∠ABF BE=CE ∠AEC=∠FEB

，
∴△AEC≌△FEB（ASA），
∴AC=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，條件開(kāi)放試題逆推的解決方法的運(yùn)用．解答時(shí)得出△AEC≌△FEB是難點(diǎn)．