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        1. (2013•老河口市模擬)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,連接CC′交斜邊于點(diǎn)E,CC′的延長(zhǎng)線(xiàn)交BB′于點(diǎn)F.
          (1)證明:△AC C′∽△AB B′;
          (2)設(shè)∠ABC=α,∠CAC′=β,試探索α、β滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)AC=BF,并說(shuō)明理由.
          分析:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′,再由相似三角形的判定方法直接得出結(jié)論;
          (2)由(1)的結(jié)論可以得出∠ACE=∠ABF,還有∠AEC=∠BEF,只要由一邊對(duì)應(yīng)BE、CE相等就可以利用三角形全等得出結(jié)論,就需要β=2α,然后順推就可以得出結(jié)論.
          解答:(1)證明:∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的
          ∴AC=AC′AB=AB′∠CA C′=∠B AB′
          AC
          AB
          =
          AC′
          AB′

          ∴△AC C′∽△AB B′;

          (2)當(dāng)β=2α?xí)r,AC=BF.
          理由:解:∵AC=AC′
          ∴∠AC C′=∠A C′C=
          1
          2
          (180°-∠C AC′)=90°-
          1
          2
          β=90°-α,
          ∵∠BCE=∠ACB-∠A C C′=90°-(90°-α)=α,
          ∴∠BCE=∠ABC,
          ∴BE=CE.
          ∵△AC C′∽△AB B′,
          ∵∠ACE=∠ABF.
          在△AEC和△FEB中,
          ∠ACE=∠ABF
          BE=CE
          ∠AEC=∠FEB

          ∴△AEC≌△FEB(ASA),
          ∴AC=BF.
          點(diǎn)評(píng):本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,條件開(kāi)放試題逆推的解決方法的運(yùn)用.解答時(shí)得出△AEC≌△FEB是難點(diǎn).
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