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        1. 如圖,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中點,點E是線段AB上一動點,連接EM并延長交線段CD的延長線于點F.

          (1)如圖1,求證:AE=DF;
          (2)如圖2,若AB=2,過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G,求證:△GEF是等腰直角三角形
          (3)如圖3,若AB=,過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G.
          ①直接寫出線段AE長度的取值范圍;
          ②判斷△GEF的形狀,并說明理由.
          (1)由△AEM≌△DFM可證得(2)關(guān)鍵是證GE=GF,再證有個角是直角。
          (3)①<AE≤. ②△GEF是等邊三角形

          試題分析:解:(1)證明:如圖1,在矩形ABCD中,∠EAM=∠FDM=90°,∠AME=∠FMD.

          ∵M是AD的中點,∴AM=DM,
          ∴△AEM≌△DFM(ASA).
          ∴AE=DF.           2分
          (2)證明:如圖2,過點G作GH⊥AD于H,

          ∴∠A=∠B=∠AHG=90°,
          ∴四邊ABGH為矩形,
          ∴∠AME+∠AEM=90°,
          ∵MG⊥EF,
          ∴∠GME=90°.
          ∴∠AME+∠GMH=90°
          ∴∠AEM=∠GMH.
          ∵AD=4,M是AD的中點
          ∴AM=2
          ∵四邊ABGH為矩形,
          ∴AB=HG=2
          ∴AM=HG
          ∴△AEM≌△HMG(AAS).
          ∴ME=MG.
          ∴∠EGM=45°.
          由(1)得△AEM≌△DFM,
          ∴ME=MF.
          ∵MG⊥EF,
          ∴GE=GF.
          ∴∠EGF=2∠EGM=90°.
          ∴△GEF是等腰直角三角形.           5分
          (3 )①當C、G重合時,如圖4,

          ∵四邊形ABCD是矩形,
          ∴∠A=∠ADC=90°,
          ∴∠AME+∠AEM=90°.
          ∵MG⊥EF,
          ∴∠EMG=90°.
          ∴∠AME+∠DMC=90°,
          ∴∠AEM=∠DMC,
          ∴△AEM∽△DMC

          ,
          ∴AE=
          當E、B重合時,AE最長為,
          <AE≤.        7分(注:此小問只需直接寫出結(jié)果即可)
          ②如圖3,△GEF是等邊三角形.

          證明:過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H,
          ∵∠A=∠B=∠AHG=90°,
          ∴四邊形ABGH是矩形.
          ∴GH=AB=2
          ∵MG⊥EF,
          ∴∠GME=90°.
          ∴∠AME+∠GMH=90°.
          ∵∠AME+∠AEM=90°,
          ∴∠AEM=∠GMH.
          又∵∠A=∠GHM=90°,
          ∴△AEM∽△HMG.

          在Rt△GME中,
          ∴tan∠MEG==
          ∴∠MEG=60°.
           由(1)得△AEM≌△DFM.
          ∴ME=MF.
          ∵MG⊥EF,  ∴GE=GF.
          ∴△GEF是等邊三角形.           9分
          點評:此題比較綜合,四邊形的相關(guān)性質(zhì)和定理一般都由三角形性質(zhì)和定理得來,故在解四邊形時,通常會結(jié)合三角形的性質(zhì)與定理幫助解題,難度適中。
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)用含m的代數(shù)式分別表示點B,點E的坐標;
          (2)若△ABC中AC邊上的高為5,求m的值;
          (3)若點P為線段AC中點,是否存在m的值,使△APD與△ABD相似?若存在,請求出m的值;若不存在,請說明理由.

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          (2)請找出圖中除AB=CD、BC=AD以外的相等線段,并證明你的判斷.
          (3)求四邊形ABQR與四邊形CQRD的面積比.

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          (1)求證:BM=CM;
          (2)作BEDM,垂足為點E,并交CD于點F
          求證:

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          (2)如果∠ABC=∠CBD ,那么線段FD是線段FG和FB的比例中項嗎?為什么?

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          (1)圖中△APD與哪個三角形全等?并說明理由.
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          A.55 .B.100.C.25.D.30.

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          同步練習(xí)冊答案