Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．點(diǎn)D在直線CB上，以CA，CD為邊作矩形ACDE，直線AB與直線CE，DE的交點(diǎn)分別為F，G，

（1）如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形．

①若點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)，求FG的長．

②若DG=GF，求BC的長．

（2）已知BC=9，是否存在點(diǎn)D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①,②12；（2）等腰的腰長為4或20或或．理由見解析.

【解析】

（1）①只要證明△ACF∽△GEF，推出，即可解決問題；②如圖1中，想辦法證明∠1=∠2=30°即可解決問題；
（2）分四種情形：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，此時只有GF=GD，②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且直線AB，CE的交點(diǎn)中AE上方時，此時只有GF=DG，
③如圖4中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且直線AB，EC的交點(diǎn)中BD下方時，此時只有DF=DG，如圖5中，當(dāng)點(diǎn)D中線段CB的延長線上時，此時只有DF=DG，分別求解即可解決問題．

（1）①在正方形中，，

在中，，

，

，

，

，

,

②如圖1中，

正方形中，，，

，

，

，設(shè)，

，

，

，

，

在中，，

，

解得，

，

在中，．

（2）在中，，

如圖2中，

當(dāng)點(diǎn)在線段上時，此時只有，

，

，

設(shè)，則，，

，則，

，

，

，

，

整理得：，

解得或5（舍棄）

腰長．

如圖3中，

當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，且直線，的交點(diǎn)中上方時，此時只有，設(shè)，則，，

，

，

，

，

，

解得或（舍棄），

腰長．

如圖4中，

當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，且直線，的交點(diǎn)中下方時，此時只有，過點(diǎn)作．

設(shè)，則，，，

，

，

，

，

，

，

，

解得或（舍棄）

腰長，

如圖5中，

當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，此時只有，作于．

設(shè)，則，，，

，

，

，

，

，

，

，

解得或（舍棄），

腰長，

綜上所述，等腰的腰長為4或20或或．