Question

（2013•燕山區(qū)一模）閱讀下列材料：
問題：如圖（1），已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且∠EAF=45°． 判斷線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

小明同學(xué)的想法是：已知條件比較分散，可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是他將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAH，然后通過證明三角形全等可得出結(jié)論．
請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，解決下列問題：
（1）圖（1）中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是

EF=BE+DF

；
（2）如圖（2），已知正方形ABCD邊長為5，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，則AG的長為

5

，△EFC的周長為

10

；
（3）如圖（3），已知△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，且EG=2，GF=3，則△AEF的面積為

15

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ADF≌△ABH，則∠DAF=∠BAH，AF=AH，再證明∠EAF=∠EAH=45°，利用SAS證明△FAE≌△HAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=HE=BE+HB，進(jìn)而得出EF=BE+DF；
（2）由（1）知△FAE≌△HAE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等得出AG=AB=5，再利用HL證明△AEG≌△ABE，得出EG=BE，同理得到GF=DF，則△EFC的周長為BC+CD=10；
（3）將△AEF置于圖（2）中，設(shè)AB=x，則CE=x-2，CF=x-3，在△CEF中，運(yùn)用勾股定理得出FC²+EC²=EF²，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，即為AG的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）EF=BE+DF．理由如下：
∵將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAH，
∴△ADF≌△ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，

AF=AH   ∠FAE=∠HAE AE=AE

，
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF；

（2）∵△FAE≌△HAE，AG、AB分別是△FAE與△HAE的高，
∴AG=AB=5．
在△AEG與△ABE中，∠AGE=∠ABE=90°，

AE=AE AG=AB

，
∴Rt△AEG≌Rt△ABE（HL），
∴EG=BE，
同理GF=DF，
∴△EFC的周長=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=10；

（3）將△AEF置于圖（2）中．
∵EG=2，GF=3，
∴BE=2，DF=3，EF=5．
設(shè)AB=x，則CE=x-2，CF=x-3，
在△CEF中，∵∠C=90°，
∴FC²+EC²=EF²，
故（x-3）²+（x-2）²=5²，
解得：x₁=-1（舍去），x₂=6，
∴AB=6，
∴AG=AB=6，
∴△AEF的面積=

1

2

EF•AG=

1

2

×5×6=15．
故答案為EF=BE+DF；5，10；15．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的周長與面積等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的閱讀理解能力與知識(shí)的遷移能力，綜合性較強(qiáng)，難度適中．