Question

【題目】如圖，拋物線 y＝﹣x2﹣2x+3 的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左邊），與 y軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D 為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn) A、B、C 的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn) M（m，0）為線段 AB 上一點(diǎn)（點(diǎn) M 不與點(diǎn) A、B 重合），過(guò)點(diǎn) M 作 x 軸的垂線，與直線 AC 交于點(diǎn) E，與拋物線交于點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) P 作 PQ∥AB 交拋物線于點(diǎn) Q，過(guò)點(diǎn) Q 作 QN⊥x 軸于點(diǎn) N，可得矩形 PQNM．如圖，點(diǎn) P 在點(diǎn) Q 左邊，試用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周長(zhǎng)；

（3）當(dāng)矩形 PQNM 的周長(zhǎng)最大時(shí)，m 的值是多少？并求出此時(shí)的△AEM 的面積；

（4）在（3）的條件下，當(dāng)矩形 PMNQ 的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接 DQ，過(guò)拋物線上一點(diǎn) F 作 y 軸的平行線，與直線 AC 交于點(diǎn) G（點(diǎn) G 在點(diǎn) F 的上方）．若 FG＝2DQ，求點(diǎn) F 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）矩形 PMNQ 的周長(zhǎng)＝﹣2m2﹣8m+2；（3）矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，m＝﹣2；△AEM的面積為 ；（4）F（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【解析】

（1）利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）先確定出拋物線對(duì)稱軸，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的結(jié)論判斷出矩形周長(zhǎng)最大時(shí)，確定出m，進(jìn)而求出直線AC的解析式即可；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，判斷出N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．

（1）由拋物線 y＝﹣x2﹣2x+3 可知，C（0，3）．令 y＝0，則 0＝﹣x2﹣2x+3，

解得，x＝﹣3 或 x＝l，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線 y＝﹣x2﹣2x+3 可知，對(duì)稱軸為 x＝﹣1．

∵M（m，0），

∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，

∴矩形 PMNQ 的周長(zhǎng)＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．

（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，

∴矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，m＝﹣2．

∵A（﹣3，0），C（0，3）， 設(shè)直線 AC 的解析式 y＝kx+b，

∴

解得 k＝l，b＝3，

∴解析式 y＝x+3， 令 x＝﹣2，則 y＝1，

∴E（﹣2，1），

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝AM×EM＝，

即△AEM的面積為.

（4）∵M（﹣2，0），拋物線的對(duì)稱軸為 x＝﹣l，

∴N 應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q 點(diǎn)與 C 點(diǎn)重合，

∴DQ＝DC，

把 x＝﹣1 代入 y＝﹣x2﹣2x+3，解得 y＝4，

∴D（﹣1，4），

∴DQ＝DC＝．

∵FG＝DQ，

∴FG＝4．

設(shè) F（n，﹣n2﹣2n+3），則 G（n，n+3），

∵點(diǎn) G 在點(diǎn) F 的上方且 FG＝4，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4． 解得 n＝﹣4 或 n＝1，

∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．