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        1. 【題目】⑴如圖1,點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上,且OM=ON,過點M、N分別作MPOA、NPOB,MP、NP交于P,E、F分別為線段MP、NP上的點,且∠EOF=AOB,延長PMS,使MS=NF,連接OS,則∠EOF與∠EOS的數(shù)量關系為 ,線段NF、EM、EF的數(shù)量關系為

          ⑵如圖2,點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上,且OM=ON,, E、F分別為線段MP、NP上的點,且∠EOF=AOB,⑴中的線段NF、EM、EF的數(shù)量關系是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請寫出它們之間的數(shù)量關系,并證明。

          ⑶如圖3,點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上,且OM=ON,, E、F分別為線段PM、NP延長線上的點,且∠EOF=AOB,⑴中的線段NF、EM、EF的數(shù)量關系是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請寫出它們之間的數(shù)量關系,并證明。

          【答案】(1)相等,EF=FN+EM;(2)見解析;(3)見解析.

          【解析】

          (1)結論:相等,EF=FN+EM.先證明△OMS≌△ONF,再證明△OES≌△OEF即可解決問題.

          (2)結論:EF=FN+EM.如圖2中,延長EMS,使得SM=FN,連接SO,先證明△OMS≌△ONF,再證明△OES≌△OEF即可解決問題.

          (3)結論:EF=FN-EM.如圖3中,延長MES,使得MS=FN,連接SO,先證明△OMS≌△ONF,再證明△OES≌△OEF即可解決問題.

          理由:如圖1中,

          在△OMS和△ONF中,OM=ON,∠OMS=∠ONF,MS=FN,

          ∴△OMS≌△ONF,

          ∴OS=OF,∠SOM=∠FON,

          ∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE,

          在△OES和△OEF中,OE=OE,∠SOE=∠EOF,OS=OF,

          ∴△OES≌△OEF,

          ∴EF=SE=SM+EM=FN+EM.

          故答案為相等,EF=FN+EM.

          (2)如圖2中,延長EMS,使得SM=FN,連接SO.

          ∵∠OMP+∠ONP=180°,∠OMS+∠OMP=180°,

          ∴∠OMS=∠ONF,

          在△OMS和△ONF中,OM=ON,∠OMS=∠ONF,MS=FN,

          ∴△OMS≌△ONF,

          ∴OS=OF,∠SOM=∠FON,

          ∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE,

          在△OES和△OEF中,OE=OE,∠SOE=∠EOF,OS=OF,

          ∴△OES≌△OEF,

          ∴EF=SE=SM+EM=FN+EM.

          (3)結論:EF=FN-EM.

          理由:如圖3中,延長MES,使得MS=FN,連接SO.

          ∵∠OMP+∠ONP=180°,∠OMS+∠OMP=180°,

          ∴∠OMS=∠ONF,

          在△OMS和△ONF中,OM=ON,∠OMS=∠ONF,MS=FN∴△OMS≌△ONF,

          ∴OS=OF,∠SOM=∠FON,

          ∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE,

          在△OES和△OEF中,OE=OE,∠SOE=∠EOF,OS=OF,

          ∴△OES≌△OEF,

          ∴EF=SE=SM-EM=FN-EM.

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