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        1. 如圖15,在△ABC和△PQD中,AC =" k" BC,DP =" k" DQ,∠C =∠PDQ,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線BC上,連結(jié)EQ交PC于點(diǎn)H.猜想線段EH與AC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
          結(jié)論:EH=AC.
          證明:取BC邊中點(diǎn)F,連接DE、DF.
          ∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn).
          ∴DE∥BC且DE=BC,
          DF∥AC且DF=AC,
          EC=AC ∴四邊形DFCE是平行四邊形.
          ∴∠EDF=∠C. 
          ∵∠C=∠PDQ,∴∠PDQ ="∠EDF" , ∴∠PDF=∠QDE.
          又∵AC=kBC,∴DF=kDE.
          ∵DP="kDQ" ,∴
          ∴△PDF∽△QDE.
          ∴∠DEQ=∠DFP.
          又∵DE∥BC,DF∥AC, ∴∠DEQ=∠EHC,∠DFP=∠C.
          ∴∠C =∠EHC.
          ∴EH=EC.
          ∴EH=AC.
          選圖16.結(jié)論:EH=AC.
          證明:取BC邊中點(diǎn)F,連接DE、DF.
          ∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn),
          ∴DE∥BC且DE=BC, DF∥AC且DF=AC,
          EC=AC ,∴四邊形DFCE是平行四邊形.
          ∴∠EDF=∠C.
          ∵∠C=∠PDQ,∴∠PDQ="∠EDF" , ∴∠PDF=∠QDE.
          又∵AC=BC, ∴DE=DF,∵PD=QD,∴△PDF≌△QDE.
          ∴∠DEQ=∠DFP.
          ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴∠DEQ=∠EHC,∠DFP=∠C.
          ∴∠C =∠EHC
          ∴EH=EC.
          ∴EH=AC.
          選圖17. 結(jié)論: EH=AC.
          證明:連接AH.
          ∵D是AB中點(diǎn),∴DA=DB.
          又∵DB=DQ,∴DQ=DP=AD.∴∠DBQ=∠DQB,.
          ∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ,=180°,∴∠AQB=90°,
          ∴AH⊥BC.
          又∵E是AC中點(diǎn),∴HE=AC.
          1)取BC中點(diǎn)F,連接DE,DF.利用三角形中位線性質(zhì)可知四邊形DFCE是平行四邊形,由已知中角的相等,利用等量相加和相等,可得∠PDF=∠QDE,DF∥AC,可得,,即DF=kDE(DE=BF=BC),可證出△PDF∽△QDE.就有∠DFB=∠DEQ,又DE,BC平行可得∠DEQ=∠EHC,那么等量代換就有∠EHC=∠DFB=∠C,因此得證.
          (2)和(1)的證法相同.
          (3)連接AH,利用已知條件可證出∠ABC=∠BAC,且∠DBQ=∠DQB,那么DB=DQ.能判定△ABQ是直角三角形,同樣,△AQC也是直角三角形,HE是斜邊上的高,所以就有EH=AC.
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