Question

（2012•邯鄲二模）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，點P為射線CA上的一個動點，以P為圓心，1為半徑作⊙P．
（1）連接PB，若PA=PB，試判斷⊙P與直線AB的位置關系，并說明理由；
（2）當PC為

4±

5

時，⊙P與直線AB相切？當⊙P與直線AB相交時，寫出PC的取值范圍為

4-

5

＜PC＜4+

5

；
（3）當⊙P與直線AB相交于點M，N時，是否存在△PMN為正三角形？若存在，求出PC的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出AD=BD，再利用勾股定理得出AB的長，進而得出PD的長，即可得出⊙P與直線AB的位置關系；
（2）分別利用當⊙P與直線AB相切于點M，以及當⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點N，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC的長即可，進而得出當⊙P與直線AB相交時，PC的取值范圍；
（3）當△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形，利用cos30°=

PH

PN

，求出PH的長，進而得出PA，PC的長，同理可得出當⊙P交在BA的延長線部分時，PC的長．

解答：解：（1）如圖1，過點P作PD⊥AB于點D，
∵PA=PB，∴AD=BD，
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

5

，∴AD=

5

，
∵tan∠CAB=

PD

AD

=

BC

AC

，∴PD=

5

2

＞1，
∴⊙P與直線AB相離；               

（2）如圖2，當⊙P與直線AB相切于點M，連接PM，
則PM⊥AB，
∵∠CAB=∠CAB，∠AMP=∠C=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PM

BC

，
∵AB=2

5

，
∴

4-PC

2 5

=

1

2

，
解得：PC=4-

5

，
當⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點N，連接PN，
則PN⊥AB，
∵∠NAP′=∠CAB，∠ANP′=∠C=90°，
∴△AP′N∽△ABC，
∴

AP′

AB

=

P′N

BC

，
∵AC=4，BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

5

，
∴

P′C-4

2 5

=

1

2

，
解得：P′C=4+

5

，
故當PC為4±

5

時，⊙P與直線AB相切，
則當⊙P與直線AB相交時，寫出PC的取值范圍為4-

5

＜PC＜4+

5

；
故答案為：4±

5

，4-

5

＜PC＜4+

5

；   

（3）如圖3，當⊙P和線段AB相交時，過點P作PH⊥AB于點H，
∵△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形；
∵cos30°=

PH

PN

=

PH

1

，
∴PH=

3

2

，
∵sin∠CAB=

PH

PA

=

CB

AB

，
∴PA=

15

2

，
∴PC=4-

15

2

；
當⊙P交在BA的延長線部分時，
過點P′作P′H′⊥AB于點H′，
∵△P′M′N′為正三角形，即△P′M′N′是邊長為1的三角形；
∵cos30°=

P′H′

P′N′

=

P′H′

1

，
∴P′H′=

3

2

，
∵sin∠CAB=sin∠P′AH′=

P′H′

P′A

=

BC

AB

，
∴P′A=

15

2

，
P′C=4+

15

2

．
綜上所述，PC=4-

15

2

或 PC=4+

15

2

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及銳角三角函數(shù)的應用和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結合進行分類討論得出是解題關鍵．