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        1. 如圖,已知拋物線y=
          1
          4
          (x-1)(x-b)
          (b是實數(shù)且b>2)與x軸的正半軸分別交于點A、B(點A位于點B的左側),與y軸的正半軸交于點C.

          (1)點B的坐標為
          (b,0)
          (b,0)
          ,點C的坐標為
          (0,
          1
          4
          b)
          (0,
          1
          4
          b)
          (用含b的代數(shù)式表示);
          (2)若b=8,請你在拋物線上找點P,使得△PAC是直角三角形?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由;
          (3)請你探索,在(1)的結論下,在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)?如果存在,求出點Q的坐標;如果不存在,請說明理由.
          分析:(1)令y=0,解關于x的一元二次方程即可得到點B的坐標,再令x=0求出y的值得到點C的坐標;
          (2)先根據(jù)b的值確定出點A的坐標,然后寫出直線AC的解析式,再分∠CAP=90°和∠ACP=90°兩種情況寫出直線PC、PA的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標;
          (3)根據(jù)O、A、B在同一直線上判定三個相似三角形都是直角三角形,所以點QA⊥x軸,然后分∠OCQ=90°和∠OQC=90°兩種情況,利用相似三角形對應邊成比例列式求出AQ的值,即可得到點Q的坐標.
          解答:解:(1)令y=0,則
          1
          4
          (x-1)(x-b)=0,
          解得x1=1,x2=b,
          ∵b>2,
          ∴點B的坐標為(b,0),
          令x=0,則y=
          1
          4
          b,
          ∴點C的坐標為(0,
          1
          4
          b);

          (2)b=8時,點A(1,0),C(0,2),
          所以,直線AC的解析式為y=-2x+2,
          △PAC是直角三角形,分兩種情況討論:
          ①當∠CAP=90°時,設直線PA的解析式為y=
          1
          2
          x+b,
          1
          2
          ×1+b=0,
          解得b=-
          1
          2
          ,
          所以,y=
          1
          2
          x-
          1
          2

          聯(lián)立
          y=
          1
          4
          (x-1)(x-8)
          y=
          1
          2
          x-
          1
          2
          ,
          解得
          x1=10
          y1=4.5
          x2=1
          y2=0
          (為點A坐標,舍去),
          ∴點P(10,4.5);
          ②當∠ACP=90°時,設直線PC的解析式為y=
          1
          2
          x+b,
          1
          2
          ×0+b=2,
          解得b=2,
          所以,y=
          1
          2
          x+2,
          聯(lián)立
          y=
          1
          4
          (x-1)(x-8)
          y=
          1
          2
          x+2

          解得
          x1=11
          y1=7.5
          ,
          x2=0
          y2=2
          (為點C坐標,舍去),
          ∴點P(11,7.5);
          綜上所述,存在P(10,4.5)或(11,7.5)使得△PAC是直角三角形;

          (3)∵點O、A、B都在x軸上,
          ∴要使△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似,三個三角形都是直角三角形,
          ∴點QA⊥x軸,
          ①當∠OCQ=90°時,四邊形OAQC是矩形,
          ∴QA=OC=
          1
          4
          b,
          ∵△QOA∽△BQA∽△OQC,
          QA
          AB
          =
          OA
          QA
          ,
          ∴QA2=AB•OA,
          ∴(
          1
          4
          b)2=(b-1)•1,
          整理得,b2-16b+16=0,
          解得b=8+4
          3
          ,b=8-4
          3
          (舍去),
          ∴QA=
          1
          4
          b=
          1
          4
          ×(8+4
          3
          )=2+
          3
          ,
          ∴點Q的坐標為(1,2+
          3
          ),
          ②當∠OQC=90°時,
          ∵△QOA∽△BQA∽△OCQ,
          OC
          OQ
          =
          OQ
          QA
          ,△OQA∽△OBQ,
          ∴OQ2=QA•OC,
          OQ
          OB
          =
          OA
          OQ
          ,
          ∴OQ2=OA•OB,
          ∴QA•OC=OA•OB,
          ∴QA•
          1
          4
          b=1•b,
          解得QA=4,
          ∴點Q的坐標為(1,4),
          綜上所述,點Q的坐標為(1,2+
          3
          )或(1,4).
          故答案為:B(b,0),C(0,
          1
          4
          b).
          點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了求拋物線與坐標軸的交點坐標,聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,相似三角形對應邊成比例的性質,難點在于(2)(3)兩小題都要分情況討論.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點精英家教網(wǎng)C(0,3).
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)求直線BC的函數(shù)解析式;
          (3)在拋物線上,是否存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
          (4)點Q是直線BC上的一個動點,若△QOB為等腰三角形,請寫出此時點Q的坐標.(可直接寫出結果)

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
          (1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
          (2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點,對稱軸是x=-1.
          (1)求拋物線對應的函數(shù)關系式;
          (2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動,同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設運動的時間為t秒.
          ①當t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
          ②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
          (1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
          (2)點P是拋物線對稱軸上一點,若△PAB∽△OBC,求點P的坐標.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點,交y軸于點C;
          (1)求此拋物線的解析式;
          (2)①當x的取值范圍滿足條件
          -2<x<0
          -2<x<0
          時,y<-3;
               ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點,且y1>y2,求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點M、交拋物線于點N,求線段MN的長度的最大值;
          (4)若以拋物線上的點P為圓心作圓與x軸相切時,正好也與y軸相切,求點P的坐標.

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          同步練習冊答案