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        1. 如圖,設(shè)拋物線C1:y=a(x+1)2-5,C2:y=-a(x-1)2+5,C1與C2的交點為A,B,點A的坐標(biāo)是(2,4),點B的橫坐標(biāo)是-2.
          (1)求a的值及點B的坐標(biāo);
          (2)點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG.記過C2頂點M的直線為l,且l與x軸交于點N.
          ①若l過△DHG的頂點G,點D的坐標(biāo)為(1,2),求點N的橫坐標(biāo);
          ②若l與△DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標(biāo)的取值范圍.

          【答案】分析:(1)由于兩個拋物線同時經(jīng)過A、B兩點,將A點坐標(biāo)代入兩個拋物線中,即可求得待定系數(shù)的值,進而可求出B點的坐標(biāo).
          (2)①已知了點D的坐標(biāo),即可求得正△DGH的邊長,過G作GE⊥DH于E,易求得DE、EH、EG的長;根據(jù)(1)題所求得的C2的解析式,即可求出點M的坐標(biāo),也就能得到ME、MH的長,易證△MEG∽△MHN,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可求得N點的橫坐標(biāo).
          ②求點N橫坐標(biāo)的取值范圍,需考慮N點橫坐標(biāo)最大、最小兩種情況:
          ①當(dāng)點D、A重合,且直線l經(jīng)過點G時,N點的橫坐標(biāo)最大;解法可參照(2)的思路,過點G作GQ⊥x軸于Q,過點M作MF⊥x軸于F,設(shè)出點N的橫坐標(biāo),然后分別表示出NQ、NF的長,通過證△NQG∽△NFM,根據(jù)所得比例線段,即可求得此時N點的橫坐標(biāo);
          ②當(dāng)點D、B重合,直線l過點D時,N點的橫坐標(biāo)最小,解法同①.
          解答:解:(1)∵點A(2,4)在拋物線C1上,
          ∴把點A坐標(biāo)代入y=a(x+1)2-5得a=1,
          ∴拋物線C1的解析式為y=x2+2x-4,
          設(shè)B(-2,b),
          ∴b=-4,
          ∴B(-2,-4);

          (2)①如圖
          ∵M(1,5),D(1,2),且DH⊥x軸,
          ∴點M在DH上,MH=5,
          過點G作GE⊥DH,垂足為E,
          由△DHG是正三角形,可得EG=,EH=1,
          ∴ME=4,
          設(shè)N(x,0),則NH=x-1,
          由△MEG∽△MHN,得,
          ,
          ∴x=
          ∴點N的橫坐標(biāo)為;
          ②當(dāng)點D移到與點A重合時,如圖,
          直線l與DG交于點G,此時點N的橫坐標(biāo)最大;
          過點G,M作x軸的垂線,垂足分別為點Q,F(xiàn),
          設(shè)N(x,0),
          ∵A(2,4),即AH=4,且△AGH為等邊三角形,
          ∴∠AHG=60°,HG=AH=4,
          ∴∠GHQ=30°,又∠GQH=90°,
          ∴GQ=HG=2,HQ==2
          ∴OQ=OH+HQ=2+2,
          ∴G(,2),
          ∴NQ=,NF=x-1,GQ=2,MF=5,
          ∵△NGQ∽△NMF,
          ,
          ,
          ,
          當(dāng)點D移到與點B重合時,如圖:
          直線l與DG交于點D,即點B,
          此時點N的橫坐標(biāo)最;
          ∵B(-2,-4),
          ∴H(-2,0),D(-2,-4),
          設(shè)N(x,0),
          ∵△BHN∽△MFN,
          ,
          ,

          ∴點N橫坐標(biāo)的范圍為≤x≤且x≠0.
          點評:此題是二次函數(shù)的綜合題,主要考查二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì);在解答(2)題時,關(guān)鍵是正確地作圖,構(gòu)造出與所求相關(guān)的相似三角形,然后利用相似三角形的性質(zhì)來求解.
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          ①若l過△DHG的頂點G,點D的坐標(biāo)為(1,2),求點N的橫坐標(biāo);
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          (2)點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG.記過C2頂點M的直線為l,且l與x軸交于點N.
          ①若l過△DHG的頂點G,點D的坐標(biāo)為(1,2),求點N的橫坐標(biāo);
          ②若l與△DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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