Question

【題目】如圖，點(diǎn)分別在兩邊上，且，以為直徑作半圓，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)

(1)連接，求證： ；

(2)若， ，求陰影部分面積

(3)若點(diǎn)是的外心，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）四邊形是正方形，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出，利用SSS即可證明；

（2）首先證明△APB是等邊三角形，得到AB＝4，然后根據(jù)扇形面積公式和等腰直角三角形的面積公式計(jì)算即可；

（3）求出，證明P、O、C三點(diǎn)共線(xiàn)，可知AB⊥PC，即可得四邊形是正方形．

解：（1）∵點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，

∴，

∴，

又∵，，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，，

∴△APB是等邊三角形，

∴AB＝PA＝4，

∴，

∴陰影部分面積；

（3）四邊形是正方形，

理由：∵點(diǎn)是的外心，

∴，

∵，

∴，

∵PA＝PB，

∴∠AOP＝90°，

又∵，

∴P、O、C三點(diǎn)共線(xiàn)，即AB⊥PC，

∴四邊形是正方形．