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        1. 已知:如圖,△ABC內接于⊙O,AD是⊙O的直徑,點E、F分別在AB、AC的延長線上,EF交⊙O于點M、N,交AD于點H,H是OD的中點,
          MD
          =
          DN
          ,EH-HF=2.設∠ACB=a,ta精英家教網(wǎng)na=
          3
          4
          ,EH和HF是方程x2-(k+2)x+4k=0的兩個實數(shù)根.
          (1)求EF和HF的長;
          (2)求BC的長.
          分析:(1)根據(jù)根與系數(shù)的關系,可以得到EH+HF=k+2②,EH•HF=4k>0③,再結合已知EH-HF=2,可求k的值,再把k的值代入方程,解方程可求EH、HF,從而可求EH;
          (2)連接BD、CD,由于AD是直徑,根據(jù)垂徑定理可知,AD⊥EF,再利用同角的余角相等,可知∠E=∠1,再利用圓周角的性質,可知∠E=∠1=∠α,從而tan∠E=
          3
          4
          ,結合EH=8,可求AH,再利用勾股定理可求AE,在Rt△AHF中,利用勾股定理可求AF,在Rt△ABD中,由于tan∠1=
          3
          4
          ,可設AB=3m,BD=4m,利用勾股定理可知AD=5m,而H是OD中點,從而AD=
          4
          3
          AH,由于AH=6,可求AD、m的值,從而可求AB,利用∠α=∠E,再加上一個公共角,可證△ABC∽△AFE,可得比例線段,容易求出BC.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)依題意,及一元二次方程根與系數(shù)關系,得
          △=[-(k+2)]2-4×4k>0,①
          EH+HF=k+2,②
          EH•HF=4k>0,③
          又EH-HF=2④
          由②、③、④得k=12,
          當k=12時,①成立.
          把k=12代入原方程解得x1=8,x2=6,
          ∴EH=8,HF=6.

          (2)解法一:
          連接BD,
          ∵AD是⊙O的直徑,
          ∴∠ABD=90°,
          ∵∠1=∠a,
          MD
          =
          DN
          ,
          ∴AD⊥EF,即∠AHE=∠AHF=90°,
          ∴∠E=∠1=∠a,
          在Rt△AEH中,tanE=
          AH
          EH
          =tana=
          3
          4
          ,又EH=8,
          ∴AH=6,
          由勾股定理得AE=10,
          在Rt△AHF中,AH=HF=6,
          由勾股定理得AF=6
          2

          在Rt△ABD中,tan∠1=
          AB
          BD
          =tana=
          3
          4

          設AB=3m,則BD=4m,由勾股定理得AD=5m
          ∵H是OD的中點,
          ∴AH=
          3
          4
          AD
          ∴AD=
          4
          3
          AH=
          4
          3
          ×6=8
          ∴5m=8,解得m=
          8
          5
          ,
          ∴AB=3m=
          24
          5
          ,
          ∵∠E=∠a,∠BAC=∠FAE,
          ∴△ABC∽△AFE
          BC
          EF
          =
          AB
          AF

          ∴BC=
          AB(EH+HF)
          AF
          =
          24
          5
          ×(8+6)
          6
          2
          =
          28
          5
          2
          ;
          解法二:
          同解法一求出AE=10,AD=8
          連接CD,
          ∵AH=HF,且AH⊥HF,
          ∴∠HAF=∠F=45°
          ∵AD為⊙O直徑,
          ∴∠ACD=90°,∠ADC=45°
          ∴AC=AD•sin∠ADC=AD•sin45°=4
          2
          ,

          以下同解法一求得BC=
          AC•EF
          AE
          =
          4
          2
          ×14
          10
          =
          28
          5
          2
          點評:本題利用了根與系數(shù)的關系、三角函數(shù)值、圓周角的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、垂徑定理等知識.
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