Question

（2013?安徽）如圖，A、B兩地相距4km，MN是與AB連線平行的一條小河的河岸，AB到河岸的垂直距離為3km，小軍要從A處走到河岸取水然后送到B處，他先沿著垂直于河岸的方向到D點取水，再沿直線DB到B處．若小軍的速度大小恒為5km/h，不考慮取水停留的時間．
（1）求小軍完成這次取水和送水任務(wù)所需的時間．
（2）為了找到一條最短中路線（即從A到河岸和從河岸到B的總路程最短），可以將MN看成一個平面鏡，從A點作出一條光線經(jīng)MN反射后恰能通過B點，請你證明入射點O即為最短路線的取水點．

Answer 1

分析：（1）已知AB間的距離是4km，AB到河岸的距離（AD）是3km，可以計算出DB間的距離，此時便可知道小軍要走的路程了，又知速度，根據(jù)v=

s

t

變形計算出所需時間；
（2）利用平面鏡成像的特點：像與物關(guān)于平面鏡對稱，作出發(fā)光點A的像點A′，根據(jù)反射光線反向延長通過像點，可以由像點和B點確定反射光線所在的直線，兩點之間，直線最短．

解答：解：（1）如下圖所示，小軍通過的路程是s_AD+s_DB，
此時，s_AB=4km，s_AD=3km，根據(jù)勾股定理可知，s_DB=5km，

故小軍通過的路程s=s_AD+s_DB=3km+5km=8km，
∵v=

s

t

∴所需的時間：
t=

s

v

=

8km

5km/h

=1.6h；
（2）作出發(fā)光點A關(guān)于平面鏡的對稱點，即為像點A′，連接A′、B點交平面鏡于點O，沿OB畫出反射光線，連接AO畫出入射光線，如圖所示，圖中O就是入射點；

①由圖可知，A′B的連線是直線，兩點之間，直線最短，即此時A′B之間的距離（s_A′O+s_OB）最短；
②根據(jù)平面鏡成像的特點可知，此時s_AD=s_A′D，且Rt△ADO與Rt△A′DO有一條公共邊DO，故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO，即s_AO=s_A′O；
故s_AO+s_OB=s_A′O+s_OB；
即此時O點是最短路線的取水點．
 答：（1）小軍完成這次任務(wù)需1.6小時；
（2）如上所述，入射點O為最短路線的取水點．

點評：本題利用平面鏡成像的特點，并結(jié)合數(shù)學知識，解決實際問題（取水路線最短），綜合性較強，是中考考查的熱點問題．