Question

8、如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為棱DD₁，AB上的點(diǎn)．已知下列判斷：①A₁C⊥平面B₁EF；②△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上  的正投影是面積為定值的三角形；③在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與平面B₁EF平行的直線；④平 面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)E的位置有關(guān)，與點(diǎn)F的位置無關(guān)，其中正確判斷的個(gè)數(shù)有（　　）

A、1個(gè)

B、2個(gè)

C、3個(gè)

D、4個(gè)

Answer 1

分析：由正方體的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)所給的幾個(gè)命題用線面，面面之間的位置關(guān)系直接判斷正誤即可

解答：解：如圖
對(duì)于①A₁C⊥平面B₁EF，不一定成立，因?yàn)锳₁C⊥平面AC₁D，而兩個(gè)平面面B₁EF與面AC₁D不一定平行．
對(duì)于②△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上  的正投影是面積為定值的三角形，此是一個(gè)正確的結(jié)論，因?yàn)槠渫队叭�角形的一邊是棱BB₁，而E點(diǎn)在面上的投影到此棱BB₁的距離是定值，故正確；
對(duì)于③在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與平面B₁EF平行的直線，此兩平面相交，一個(gè)面內(nèi)平行于兩個(gè)平面的交線一定平行于另一個(gè)平面，此結(jié)論正確；
對(duì)于④平 面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)E的位置有關(guān)，與點(diǎn)F的位置無關(guān)，此結(jié)論不對(duì)，與兩者都有關(guān)系，可代入幾個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，如F與A重合，E與D重合時(shí)的二面角與F與B重合，E與D重合時(shí)的情況就不一樣．故此命題不正確
綜上，②③是正確的
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查對(duì)正方體的幾何特征的了解，以及線面垂直，線面平行等位置關(guān)系的判定，二面角的求法等知識(shí)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)．