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          設函數f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1為f(x)的極值點.
          (Ⅰ)求a和b的值;
          (Ⅱ)討論f(x)的單調性;
          (Ⅲ)設g(x)=
          2
          3
          x3-x2
          ,試比較f(x)與g(x)的大小.
          (Ⅰ)因為f'(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b),
          又x=-2和x=1為f(x)的極值點,所以f'(-2)=f'(1)=0,
          因此
          -6a+2b=0
          3+3a+2b=0
          解方程組得a=-
          1
          3
          ,b=-1.
          (Ⅱ)因為a=-
          1
          3
          ,b=-1,所以f'(x)=x(x+2)(ex-1-1),
          令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3=1.
          因為當x∈(-∞,-2)∪(0,1)時,f'(x)<0;
          當x∈(-2,0)∪(1,+∞)時,f'(x)>0.
          所以f(x)在(-2,0)和(1,+∞)上是單調遞增的;在(-∞,-2)和(0,1)上是單調遞減的.
          (Ⅲ)由(Ⅰ)可知f(x)=x2ex-1-
          1
          3
          x3-x2

          故f(x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x),令h(x)=ex-1-x,則h'(x)=ex-1-1.
          令h'(x)=0,得x=1,因為x∈(-∞,1]時,h'(x)≤0,
          所以h(x)在x∈(-∞,1]上單調遞減.故x∈(-∞,1]時,h(x)≥h(1)=0;
          因為x∈[1,+∞)時,h'(x)≥0,所以h(x)在x∈[1,+∞)上單調遞增.
          故x∈[1,+∞)時,h(x)≥h(1)=0.
          所以對任意x∈(-∞,+∞),恒有h(x)≥0,又x2≥0,因此f(x)-g(x)≥0,
          故對任意x∈(-∞,+∞),恒有f(x)≥g(x).
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          設函數f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R.
          (1)判斷函數f(x)的奇偶性;
          (2)求函數f(x)的最小值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          設函數f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0與g(x0)<0同時成立,則實數a的取值范圍是
           

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          設函數f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.(注:(ln(x+1))′=
          1x+1
          ).
          (1)討論f(x)的單調性.
          (2)若f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范圍.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          設函數f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
          (1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實數m的值;
          (2)當m=2時,若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個不同的實數解,求實數a的取值范圍;
          (3)是否存在實數m,使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          設函數f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
          (1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
          (2)若f(x)在定義域內既有極大值又有極小值,求實數a的取值范圍;
          (3)求證:不等式ln
          n+1
          n
          n-1
          n3
          (n∈N*)恒成立.

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