Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

且f（x+2）=f（x），g（x）=

2x+5

x+2

，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-8，3]上的所有實根之和為

-12

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的周期性和對稱性，結(jié)合圖象可得方程的根．

解答：解：由f（x+2）=f（x），知f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
分別作出函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象，如圖所示．
這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于點P（2，-2）中心對稱，故它們的交點也關(guān)于點P（2，-2）中心對稱，
從而方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-8，3]上的所有6個實根也是兩兩成對地關(guān)于點P（2，-2）中心對稱，
則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-8，3]上的所有實根之和為3×（-4）=-12．
故答案為：-12．

點評：本題主要考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的周期性以及對稱性的綜合應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)．