Question

經(jīng)觀察，人們發(fā)現(xiàn)鮭魚在河中逆流勻速行進時所消耗的能量為E=kv³t，其中v為鮭魚在靜水中的速度，t為行進的時間（單位：h），k為大于零的常數(shù)．如果水流的速度為3km/h，鮭魚在河中逆流行進100km．則當(dāng)鮭魚消耗的能量最少時，v=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)相對速度的定義，求出鮭魚逆流行駛的速度為v-3，從而表示出鮭魚鮭魚逆流勻速行進100km所用的時間，再代入公式E=kv³t，即可求出鮭魚在逆流中消耗的能量E關(guān)于v的解析式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可．
解答：解：鮭魚逆流勻速行進100km所用的時間為t=．…（2分）
所以E=kv³t=kv³=（v∈（3，+∞））．…（6分）
∴E′=100k=100k．        …（10分）
令E′=0，解得v=4.5或v=0（舍去）．
因為k＞0，v＞3，所以當(dāng)v∈（3，4.5）時，E′＜0，
當(dāng)v∈（4.5，+∞）時，E′＞0．
故E=在（3，4.5）上單調(diào)遞減，在（4.5，+∞）上單調(diào)遞增．…（13分）
所以，當(dāng)v=4.5時，E取得極小值也是最小值．
即當(dāng)鮭魚消耗的能量最少時，v=4.5km/h．
故答案為：4.5km/h．…（14分）
點評：本題以物理學(xué)為背景，其實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的應(yīng)用，解題時要理解鮭魚在靜水中的速度和逆流中的速度之間的關(guān)系，正確對函數(shù)求導(dǎo)，合理地運用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的最小值．