Question

【題目】已知，函數(shù)，若函數(shù)的圖像上有且只有兩對(duì)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的取值范圍是________

Answer 1

【答案】

【解析】

運(yùn)用對(duì)稱性及單調(diào)性求得x＞0時(shí)，f（x）的最大值，再求得關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)和圖象，畫出f（x）和g（x）的圖象，結(jié)合圖象求得僅有兩個(gè)交點(diǎn)的a的范圍．

令，

則是由向右平移1個(gè)單位得到的，

而是R上的偶函數(shù)，且在上單減，在上單增，

∴關(guān)于x=1對(duì)稱，且在上單減，在上單增，

即當(dāng)x＝1時(shí)，f1（x）min＝2，

∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)，關(guān)于x=1對(duì)稱，且在上單增，在上單減，∴當(dāng)x＞0時(shí)，；

∴的大致圖象如圖所示：

若f（x）圖象僅有兩對(duì)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，

即f（x）（x＜0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)圖象與f（x）（x＞0）僅有兩個(gè)交點(diǎn)，

而當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（x+1）2+a．

設(shè)其關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為g（x），

∴g（x）＝f（﹣x）＝（x﹣1）2+a（x＞0），∴g（x），

又當(dāng)x=0時(shí)，，而當(dāng)x=0時(shí)，（x﹣1）2+a+1，

當(dāng)g（x）與f（x）僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，且

∴，

綜上，a的取值范圍是（，），

故答案為：（，）．