Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P(3，

3

4

7

)，且離心率e=

7

4

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A（2，0）的動(dòng)直線AB交橢圓于點(diǎn)M、N，（其中點(diǎn)N位于點(diǎn)A、B之間），且交直線l：x=8于點(diǎn)B（如圖）．證明：|

MA

|•|

NB

|=|

AN

|•|

MB

|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，得

b2

a2

=1-e2=

9

16

，故可設(shè)所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

9

=m，將點(diǎn)P(3，

3

4

7

)的坐標(biāo)代入上式，得m=1．由此得到所求橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），要證原等式成立，只要證

| MA |

| MB |

=

| AN |

| NB |

?

2-x1

8-x1

=

x2-2

8-x2

?5（x₁+x₂）-x₁x₂=16．

解答：解：（Ⅰ）　由已知，得　

b2

a2

=1-e2=

9

16

，故可設(shè)所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

9

=m，
將點(diǎn)P(3，

3

4

7

)的坐標(biāo)代入上式，得　m=1．
∴所求橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

9

=1；（5分）
（Ⅱ）　設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
要證原等式成立，只要證

| MA |

| MB |

=

| AN |

| NB |

?

2-x1

8-x1

=

x2-2

8-x2

?5（x₁+x₂）-x₁x₂=16．①（8分）
以下證明①式成立．
證明：設(shè)MB：y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2 16 + y2 9 =1

?（9+16k²）x²-64k²x+64k²-144=0
由韋達(dá)定理，得　x1+x2=

64k2

9+16k2

，x1x2=

64k2-144

9+16k2

，（11分）
∴5(x1+x2)-x1x2=5×

64k2

9+16k2

-

64k2-144

9+16k2

=

16(9+16k2)

9+16k2

=16
于是，①式得證．
∴|

MA

|•|

NB

|=|

AN

|•|

MB

|．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和證明|

MA

|•|

NB

|=|

AN

|•|

MB

|．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用和分析法證明的靈活運(yùn)用．