Question

已知平面上的線(xiàn)段l及點(diǎn)P，任取l上一點(diǎn)Q，線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P到線(xiàn)段l的距離，記作d（P，l）
（1）求點(diǎn)P（1，1）到線(xiàn)段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距離d（P，l）；
（2）設(shè)l是長(zhǎng)為2的線(xiàn)段，求點(diǎn)的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形面積；
（3）寫(xiě)出到兩條線(xiàn)段l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，其中l(wèi)₁=AB，l₂=CD，A，B，C，D是下列三組點(diǎn)中的一組．
對(duì)于下列三種情形，只需選做一種，滿(mǎn)分分別是①2分，②6分，③8分；若選擇了多于一種情形，則按照序號(hào)較小的解答計(jì)分．
①A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
②A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2）．
③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的是一條線(xiàn)段，點(diǎn)到線(xiàn)段的距離不一定使用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到，二是需要觀察過(guò)點(diǎn)做垂線(xiàn)，垂足是否落到線(xiàn)段上，結(jié)果不是落到線(xiàn)段上，所以用兩點(diǎn)之間的距離公式．
（2）由題意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓，做出面積．
（3）根據(jù)題意從三組點(diǎn)的坐標(biāo)中選第一組，根據(jù)所給的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩條直線(xiàn)的方程，從直線(xiàn)方程中看出這兩條直線(xiàn)之間的平行關(guān)系，得到要求的結(jié)果．

解答：解：（1）點(diǎn)P（1，1）到線(xiàn)段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距離
d（P，l）是點(diǎn)P到（3，0）的距離，
d（P，l）=

22+1

=

5

，
（2）由題意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓，
∴S=2²+π=4+π
（3）對(duì)于所給的三組點(diǎn)到坐標(biāo)選第一組，A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出兩條直線(xiàn)的方程，AB：x=1，CD：x=-1，
到兩條線(xiàn)段l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，
根據(jù)兩條直線(xiàn)的方程可知兩條直線(xiàn)之間的關(guān)系是平行，
∴到兩條直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的集合是y軸．
選第二組點(diǎn)來(lái)計(jì)算：A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2），
根據(jù)第一組做出的結(jié)果，觀察第二組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，連接得到線(xiàn)段以后，
可以得到到兩條線(xiàn)段距離相等的點(diǎn)是y軸非負(fù)半軸，拋物線(xiàn)x=

1

4

y2(y≤0，0≤x≤1)，直線(xiàn)y=-x-1（x＞1）．
選第三組來(lái)求解到兩條線(xiàn)段距離相等的點(diǎn)，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0），

根據(jù)兩條線(xiàn)段分別在橫軸和縱軸上，知到兩條線(xiàn)段距離相等的點(diǎn)在一三象限的角平分線(xiàn)上，
方程是y=x，不是這條直線(xiàn)上的所有的點(diǎn)都合題意，根據(jù)所給的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離知（1，1）點(diǎn)左下方的符合題意，
所以所求的點(diǎn)的集合是y=x（0＜x≤1），y=

1

2

x2+

1

2

（1＜x＜2），2x-

3

2

（x≥2）或x≤0，y≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查兩點(diǎn)之間的距離公式，考查利用兩點(diǎn)式寫(xiě)直線(xiàn)的方程，考查點(diǎn)到線(xiàn)段的距離，本題是一個(gè)綜合題目．