Question

某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試．已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證書，現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A的正考和補(bǔ)考成績(jī)合格的概率分別為

2

3

、

3

4

，科目B的正考和補(bǔ)考成績(jī)合格的概率均為

1

2

，假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響．
（1）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（2）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件表示科目A第一次考試合格且科目B第一次考試合格，這兩次考試合格是相互獨(dú)立的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到結(jié)果；
（2）參加考試的次數(shù)為ξ，由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫出概率，即可求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）記“他不需要補(bǔ)考就可獲得證書”為事件A，則P（A）=

2

3

×

1

2

=

1

3

；
（2）ξ的可能取值為：2，3，4，則
P（ξ=2）=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

4

=

5

12

；P（ξ=3）=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

3

4

×

1

2

=

11

24

；
P（ξ=4）=

1

3

×

3

4

×(

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

)=

1

8

∴ξ的分布列為

P	2	3	4
ξ	5 12	11 24	1 8

Eξ=2×

5

12

+3×

11

24

+4×

1

8

=

65

24

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．