Question

（2013•威海二模）已知正數(shù)a，b滿足等式a+b-2ab+4=0，則a+b的最小值為

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)題中等式移項得a+b+4=2ab，結合基本不等式ab≤(

a+b

2

)2化簡得a+b+4≤

1

2

（a+b）²．令a+b=t，得t+4≤

1

2

t2，解之得t≥4或t≤-2，結合a+b=t＞0得t≥4，所以a+b的最小值為4．

解答：解：∵a+b-2ab+4=0，
∴移項，得a+b+4=2ab
∵a、b是正數(shù)，可得ab≤(

a+b

2

)2
∴a+b+4=2ab≤2×(

a+b

2

)2，
得a+b+4≤

1

2

（a+b）²，當且僅當a=b=2時，等號成立
令a+b=t，得t+4≤

1

2

t2，
化簡得t²-2t-8≥0，解之得t≥4或t≤-2
∵a+b=t＞0，∴t≥4，得a+b的最小值為4
故答案為：4

點評：本題給出關于正數(shù)a、b的等式，求a+b的最小值．著重考查了利用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知識，屬于中檔題．