Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，AA₁的中點(diǎn)，求證：三條直線DA，CE，D₁F交于一點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：欲證：三條直線DA，CE，D₁F交于一點(diǎn)，先將其中一條直線看成是兩個平面的交線，再證明另外兩條直線的交點(diǎn)是這兩個平面的公共點(diǎn)，由平面的基本性質(zhì)，從而證得三條直線交于一點(diǎn)．
解答：證明：連接EF、CD₁、BA₁，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，AA₁的中點(diǎn)，∴EF∥BA₁，，
又A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁∴四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，∴BA₁∥CD₁BA₁=CD₁
∴EF∥CD₁，∴四邊形是梯形，
∴D₁F與CE的延長線交于一個點(diǎn)，設(shè)為O點(diǎn)，
則有O∈D₁F，D₁F?平面AD₁，
∴O∈平面AD₁，同理O∈平面AC，且平面AD₁∩平面AC=AD
∴O∈AD，∴三條直線DA，CE，D₁F交于一點(diǎn)．
點(diǎn)評：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)及推論、確定平面的條件、共點(diǎn)的證明方法、棱柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．