Question

【題目】若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點(diǎn),,其坐標(biāo)滿足條件：的最大值為0,則稱為“柯西函數(shù)”,則下列函數(shù)：①（）;②（）;③;④.其中為“柯西函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由柯西不等式得：對(duì)任意實(shí)數(shù), 恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù),使得取等號(hào)）,若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點(diǎn),其坐標(biāo)滿足條件：的最大值為,則函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)使得共線,即存在點(diǎn)、與點(diǎn)共線逐一判定即可.

解:由柯西不等式得：對(duì)任意實(shí)數(shù),,,：恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù),使得,取等號(hào)）,

又函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點(diǎn),,滿足條件：的最大值為,

則函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點(diǎn),,使得、共線,

即存在點(diǎn)、與點(diǎn)共線;

設(shè)的方程為,對(duì)于①,由于（）與只有一個(gè)交點(diǎn),所

以①不是柯西函數(shù);

對(duì)于②,由于與（）最多只有一個(gè)交點(diǎn),所以②不是柯西函數(shù);

對(duì)于③,取,點(diǎn)任意,均滿足定義,所以③是柯西函數(shù);

對(duì)于④,取,,均滿足定義,所以④是柯西函數(shù).

故選:B