Question

【題目】已知函數(shù) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)x1和x2分別是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)且x1＜x2 ， 證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=lnx﹣ax，

故函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)f'（x）在（0，+∞）有兩個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)a=0時(shí)f'（x）=lnx，顯然只有1個(gè)零點(diǎn)x0=1．

當(dāng)a≠0時(shí)，令h（x）=lnx﹣ax，那么 ．

若a＜0，則當(dāng)x＞0時(shí)h'（x）＞0，即h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）無(wú)兩個(gè)零點(diǎn)．

若a＞0，則當(dāng) 時(shí)h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，

所以 ．

又h（1）=﹣a＜0，當(dāng)x→0時(shí)→﹣∞，故若有兩個(gè)零點(diǎn)，則 ，得 ．

綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

（Ⅱ）證明：要證 ，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得 ．

由f'（x）=0得 ，得 ．

所以原命題等價(jià)于證明 ．

因?yàn)閤1＜x2，故只需證 ，即 ．

令 ，則0＜t＜1，設(shè) ，只需證g（t）＜0．

而 ，故g（t）在（0，1）單調(diào)遞增，所以g（t）＜g（1）=0．

綜上得 ．

【解析】（Ⅰ）函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)f'（x）在（0，+∞）有兩個(gè)零點(diǎn)，分類討論求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）要證 ，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得 ，由f'（x）=0得 ，得 ．所以原命題等價(jià)于證明 ．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．