Question

如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)在平面內(nèi)求一點(diǎn)，使平面，并證明你的結(jié)論；
(3)求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；(3)

試題分析：在空間中直線、平面的平行和垂直關(guān)系的判定，求空間中的角，可以用相關(guān)定義和定理解決，如(1)中，易證，，所以，，但有些位置關(guān)系很難轉(zhuǎn)化，特別求空間中的角，很難找到直線在平面內(nèi)的射影，很難作出二面角，這時(shí)空間向量便可大顯身手，如果圖形便于建立空間直角坐標(biāo)系，則更為方便，本題就是建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)（1）計(jì)算即可；(2)設(shè)，再由，解出，即可找出點(diǎn)；(3)用待定系數(shù)法求出件可求出平面的法向量，再求出平面的法向量與向量平面的夾角的余弦，從而得到結(jié)果.
試題解析：以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)，則，，，，，，．
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240223485571263.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.       4分
(2)設(shè)，則平面，，
，所以，
，所以
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)為的中點(diǎn)．         8分
(3)設(shè)平面的法向量為．
由得，即，
取，則，，得．
，
所以，與平面所成角的正弦值的大小為      13分