Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥面ABCD，PC•BD=0，PA=AB=2．∠BAD=60°．
（1）證明：面PAC⊥面PBD．
（2）求C到面PBD的距離．
（3）求面PBC與面PAD的二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥BD，PC⊥BD?BD⊥面PAC?面PAC⊥面PBD．
（2）由O為AC的中點(diǎn)得A、C到面PBD的距離相等．把C到面PBD的距離轉(zhuǎn)化為A到面PBD的距離．過(guò)A做AE⊥PO于E?AE為A到面PBD的高．求出AE的長(zhǎng)即可．
（3）先把面PBC與面PAD的交線PQ過(guò)點(diǎn)P作出來(lái)；然后利用三垂線定理極其逆定理把二面角的平面角作出來(lái)，再解三角形求出二面角的大小即可．

解答：如圖（1）證明：連AC，BD∵PA⊥BD，PC⊥BD∴BD⊥面PAC，
∴面PAC⊥面PBD．（2分）

（2）解：O為AC的中點(diǎn)，故A、C到面PBD的距離相等．
連PO，過(guò)A做AE⊥PO于E，
∵面PAC⊥面PBD．
∴AE為A到面PBD的高．（4分）
在Rt△APO中，AO=

3

，AP=2，
∴AE=

AO•AP

PO

=

3 •2

3+4

=

2 21

7

．
故 C到面PBD的距離為

2 21

7

．（7分）

（3）解：∵BC∥AD，
∴BC∥面PAD，
∴過(guò)P做PQ即為面PBC與面PAD的交線．
過(guò)B做BM⊥AD于M，BM⊥面PAD，過(guò)M做MQ⊥PQ于Q，連BQ，
則∠BQM為面PBC與面PAD的二面角的平面角．（9分）
在Rt△BQM中，BM=

3

，MQ=2∴tan∠BQM=

3

2

∴∠BQM=arctan

3

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和點(diǎn)到面的距離計(jì)算．在求點(diǎn)到面的距離時(shí)，如果直接法不好求的話，一般轉(zhuǎn)化為棱錐的高利用等體積法來(lái)求．