Question

已知a是給定的實(shí)常數(shù)．設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)²(x+b)e^x，b∈R，x=a是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，
(Ⅰ)求b的取值范圍；
(Ⅱ)設(shè)x₁，x₂，x₃是f(x)的3個(gè)極值點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列(其中{i₁，i₂，i₃，i₄}={1，2，3，4})依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應(yīng)的x₄；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
令，
則，
于是可設(shè)x₁，x₂是g(x)=0的兩實(shí)根，且x₁＜x₂，
①當(dāng)x₁=a或x₂=a時(shí)，則x=a不是f(x)的極值點(diǎn)，此時(shí)不合題意；
②當(dāng)x₁≠a且x₂≠a時(shí)，由于x=a是f(x)的極大值點(diǎn)，故x₁＜a＜x₂，即g(a)＜0，
即a²+(3-a+b)a+2b-ab-a＜0，所以b＜-a，
所以b的取值范圍是(-∞，-a）．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，假設(shè)存在b及x₄滿足題意，
則①當(dāng)時(shí)，則，
于是，
即，
此時(shí)，或
；
②當(dāng)時(shí)，則或，
（�。┤�，則，
于是，
即，
于是，
此時(shí)；
（ⅱ）若，則，
于是，
即，
于是，
此時(shí)；
綜上所述，存在b滿足題意；
當(dāng)b=-a-3時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，。