Question

（1）一個(gè)動點(diǎn)P在圓x²+y²=4上移動時(shí)，求點(diǎn)P與定點(diǎn)A（4，3）連線的中點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）自定點(diǎn)A（4，3）引圓x²+y²=4的割線ABC，求弦BC中點(diǎn)N的軌跡方程．
（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．
①求圓C的方程；
②若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到P點(diǎn)坐標(biāo)，把P的坐標(biāo)代入圓的方程即可得到M的軌跡；
（2）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，由ON和AC垂直利用斜率之積等于-1得軌跡方程；
（3）①由題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，求出曲線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，由兩交點(diǎn)到圓心距離相等求出圓心坐標(biāo)，則圓的方程可求；
②聯(lián)立圓C與直線x-y+a=0，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用x₁x₂+y₁y₂=0求解a的值．

解答：解：（1）設(shè)中點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2x-4，2y-3），
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入圓得到的關(guān)于x、y的方程，就是中點(diǎn)M的軌跡方程（因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上）．
即（2x-4）²+（2y-3）²=4；
（2）設(shè)中點(diǎn)N坐標(biāo)為（x，y），圓心為O，則ON⊥AC，且圓心坐標(biāo)為（0，0），于是
由kAC=

y-3

x-4

，kON=

y

x

，
因?yàn)镺N⊥AC，所以k_AC•k_ON=-1，即

y-3

x-4

•

y

x

=-1，整理得
（x-2）²+（y-

3

2

）²=

25

4

；
（3）①根據(jù)題意，可設(shè)圓心為（3，b）．
由y=x²-6x+1，令x=0，則y=1；令y=0，則x=3±2

2

所以，（3-0）²+（b-1）²=（±2

2

）²+b²，解得b=1，則（±2

2

）²+b²=9
所以，圓C方程為（x-3）²+（y-1）²=9
②設(shè)坐標(biāo)：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B同時(shí)滿足直線x-y+a=0和圓（x-3）²+（y-1）²=9
聯(lián)立方程組把y消去，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0
由已知有A、B兩個(gè)交點(diǎn)，即方程兩個(gè)解，則△=56-16a-4a²＞0，
因此有x₁+x₂=4-a，x1x2=

a2-2a+1

2

③
由OA⊥OB可知，x₁x₂+y₁y₂=0，且y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
即x1x2+a(x1+x2)+a2=0④
把④代入③解得a=-1，將其代入△=56-16a-4a²進(jìn)行檢驗(yàn)，
△=56+16-4=68＞0，即符合．所以a=-1．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓相交的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓的對稱性，考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．