Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（Ⅱ）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且

PA

=

5

12

PB

．求a的值．

Answer 1

分析：（I）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0和方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于0求得a的范圍，進(jìn)而利用a和c的關(guān)系，用a表示出離心率，根據(jù)a的范圍確定離心率的范圍．
（II）設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，根據(jù)

PA

=

5

12

PB

求得x₁和x₂的關(guān)系式，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，聯(lián)立方程求得a．

解答：解：（I）由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組

x2 a2 -y2=1 x+y=1.

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0. 4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

2

且a≠1．
雙曲線的離心率
e=

1+a2

a

=

1 a2 +1

．
∵0＜a＜

2

且a≠1，
∴e＞

6

2

且e≠

2

即離心率e的取值范圍為(

6

2

，

2

)∪(

2

，+∞)．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵

PA

=

5

12

PB

，
∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1)．
由此得x1=

5

12

x2．
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以

17

12

x2=-

2a2

1-a2

．
x₁•x₂=

5

12

x

2 2

=-

2a2

1-a2

．
消去x₂，得-

2a2

1-a2

=

289

60

由a＞0，所以a=

17

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．