Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2

x+2

，點(diǎn)A₀表示原點(diǎn)，點(diǎn)A_n=[n，f（n）]（n∈N^*）．若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

，θ_n是

an

與

i

的夾角[其中

i

=(1，0)]，設(shè)S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，則

lim

n→∞

Sn=

3

4

2

．

Answer 1

分析：利用向量求和知識向量化簡為=

.

A0

An，利用向量夾角概念可得tanθn=

f(n)

n

=

2

n×(n+2)

，再利用數(shù)列裂項(xiàng)相消求和知識及極限運(yùn)算法則可得解．

解答：解：由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An
∵函數(shù) f(x)=

2

x+2

，點(diǎn)A₀表示原點(diǎn)，點(diǎn)A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

a

與向量

i

=(1，0)的夾角，
∴tanθ_n=

f(n)

n

=

2

n×(n+2)

=

2

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=

2

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
∴

lim

n→∞

Sn=

3 2

4

故答案為

3

4

2

．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，主要考查向量與極限結(jié)合的綜合．涉及向量運(yùn)算的多邊形法則及向量夾角概念．考查數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消方法及極限運(yùn)算法則，有一定的綜合性．