Question

（2012•藍山縣模擬）某企業(yè)的產(chǎn)品以往專銷歐美市場，在全球金融風暴的影響下，歐美市場的銷量受到嚴重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開拓國內市場，并基本形成了市場規(guī)模；自2009年9月以來的第n個月（2009年9月為第一個月）產(chǎn)品的內銷量、出口量和銷售總量（銷售總量=內銷量與出口量的和）分別為b_n、c_n和a_n（單位：萬件），依據(jù)銷售統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下營銷趨勢：b_n+1=aa_n，
c_n+1=a_n+b a_n² （其中a、b為常數(shù)），已知a₁=1萬件，a₂=1.5萬件，a₃=1.875萬件．
（1）求a，b的值，并寫出a_n+1與a_n滿足的關系式；
（2）試用你所學的數(shù)學知識論證銷售總量a_n逐月遞增且控制在2萬件內；
（3）試求從2009年9月份以來的第n個月的銷售總量a_n關于n的表達式．

Answer 1

分析：（1）依題意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，將n取1，2，構建方程組，即可求得a，b的值，從而可得a_n+1與a_n滿足的關系式；
（2）證法（Ⅰ）先證明a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²=-

1

2

（a_n-2）²+2＜2，于是a_n＜2，再用作差法證明a_n+1＞a_n，從而可得結論；
方法（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明，關鍵是假設n=k時，a_k＜a_k+1＜2成立，利用函數(shù)f （x）=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x-2）²+2在[0，2]上為增函數(shù)，可證得a_k+1＜a_k+2＜2成立；
（3）由a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²，可得{lg （2-a_n+1）-lg2}為等比數(shù)列，公比為2，首項為-lg 2，從而可得結論．

解答：解：（1）依題意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，
∴a₂=aa₁+a₁+ba₁²，∴a+1+b=

3

2

…①
又a₃=aa₂+a₂+ba₂²，∴

3

2

a+

3

2

+b（

3

2

）²=

15

8

…②
解①②得a=1，b=-

1

2

從而a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²（n∈N^*）…（4分）
（2）證法（Ⅰ）由于a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²=-

1

2

（a_n-2）²+2≤2．
但a_n+1≠2，否則可推得a ₁=a ₂=2與a ₁=1，a₂=1.5矛盾．故a_n+1＜2  于是a_n＜2
又a_n+1-a_n=-

1

2

a_n²+2a_n-a_n=-

1

2

a_n （a_n-2）＞0，
所以a_n+1＞a_n 從而a_n＜a_n+1＜2             （9分）
證法（Ⅱ）由數(shù)學歸納法
（i）當n=1時，a₁=1，a₂=1.5，顯然a₁＜a₂＜2成立
（ii）假設n=k時，a_k＜a_k+1＜2成立．
由于函數(shù)f （x）=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x-2）²+2在[0，2]上為增函數(shù)，
則f （a_k）＜f （a_k+1）＜f （2）即

1

2

a_k （4-a_k）＜

1

2

a_k+1（4-a_k+1）＜

1

2

×2×（4-2）
即 a_k+1＜a_k+2＜2成立． 綜上可得n∈N^*有a_n＜a_n+1＜2 （9分）
（3）由a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²得2 （a_n+1-2）=-（a_n-2）²  
即（2-a_n+1）=

1

2

（2-a_n）²
又由（2）a_n＜a_n+1＜2，可知2-a_n+1＞0，2-a_n＞0
則lg （2-a_n+1）=2lg （2-a_n）-lg 2
∴l(xiāng)g （2-a_n+1）-lg2=2[lg （2-a_n）-lg2]
即{lg （2-a_n+1）-lg2}為等比數(shù)列，公比為2，首項為lg （2-a₁）-lg 2=-lg 2
故lg （2-a_n）-lg 2=（-lg 2）•2^n-1
∴a_n=2-2(

1

2

)2n-1（n∈N^*）為所求 （13分）．

點評：本題考查數(shù)列的關系式，數(shù)學歸納法的應用，數(shù)列的函數(shù)特征，函數(shù)的單調性的應用，數(shù)列通項公式的求法，考查轉化思想，邏輯推理能力．