Question

已知A（-1，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足

|MA|

|MB|

=

1

2

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡C是什么圖形；
（2）求動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)B連線(xiàn)的斜率的最小值；
（3）設(shè)直線(xiàn)l：y=x+m交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，是否存在以線(xiàn)段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)A？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）

(x+1)2+y2

(x-2)2+y2

=

1

2

化簡(jiǎn)可得（x+2）²+y²=4．
軌跡C是以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓（3分）
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)為y=k（x-2）．圓心到直線(xiàn)的距離d=

|-4k|

k2+1

≤2
∴-

3

3

≤k≤

3

3

，k_min=-

3

3

（7分）
（3）假設(shè)存在，聯(lián)立方程

y=x+m (x+2)2+y2=4

得2x²+2（m+2）x+m²=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則x₁+x₂=-m-2，x₁x₂=

m2

2

PA⊥QA，∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）+（x₁+m）（x₂+m）=0，
2x₁x₂+（m+1）（x₁+x₂）+m²+1=0得m²-3m-1=0，
m=

3± 13

2

且滿(mǎn)足△＞0．∴m=

3± 13

2

（12分）