Question

(本小題滿分12分) 在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，點在底面上的射影恰是中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當(dāng)側(cè)棱和底面成角時， 求

（Ⅲ）若為側(cè)棱上一點，當(dāng)為何值時，．

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】本試題主要考查了同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力及計算能力的綜合運用。對于空間中點線面的位置關(guān)系的研究和靈活的運用。

（1）中利用線面垂直的性質(zhì)定理得到

（2）中，分析棱錐的底面積和高度，可以得到體積。

（3）中，結(jié)合三垂線定理和中心的位置關(guān)系得到結(jié)論。

解法一：（Ⅰ）連結(jié)AO，∵A₁O⊥面ABC，AO⊥BC．∴A₁A⊥BC．     

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°      3分

由底面是邊長為2的正三角形，可知AO=3

∴A₁O=3，AA₁=3

4                          7分

（Ⅲ）過D作DF∥A₁O，交AO于F，則DF⊥平面ABC．

∴BF為BD在面ABC內(nèi)的射影，

又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即證BF⊥AC，

∴F為△ABC的中心，∴     12分