Question

【題目】已知集合.若為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的個元素，求的最大值.

Answer 1

【答案】6

【解析】

（1）顯然，、、、、

、 這六個數(shù)在集合中，且構(gòu)成等差數(shù)列.

（2）用反證法證明：集合中任意七個不同的數(shù)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

設(shè)為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的7個不同的元素，其公差為.

由集合中元素的特性，知集合中任意一個元素均不是7的倍數(shù).

于是，由抽屜原理，知這七個數(shù)中存在兩個數(shù)，它們被7除的余數(shù)相同，其差能被7整除.

不妨設(shè)能被7整除.則.

記，設(shè)，

其中，、、 為不超過6的正整數(shù).

則 ，其中，.

由，，

知 ，即公差只能為.

因為，且，所以，除以7后的余數(shù)各不相同，分別為1,2，…，6中的一個.

因此，存在，使得能被7整除.

設(shè) .則

.

于是，的七進制表示中，7的系數(shù)（即從左到右第2位）為0，與 矛盾.

從而，集合 中任意七個不同的數(shù)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

因此，的最大值為6.