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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-xlnx+2,
          (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)若存在區(qū)間[a,b]⊆[
          12
          ,+∞)
          ,使f(x)在[a,b]上的值域是[k(a+2),k(b+2)],求k的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x2-xlnx+2,對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)要求存在區(qū)間,使f(x)在[a,b]上的值域是[k(a+2),k(b+2)],將其轉(zhuǎn)化為f(x)=k(x+2)在[
          1
          2
          ,+∞)上至少有兩個(gè)不同的正根,再利用導(dǎo)數(shù)求出k的取值范圍;
          解答:解:(Ⅰ)令g(x)=f′(x)=2x-lnx+1(x>0),則g′(x)=2-
          1
          x
          =
          2x-1
          x
          ,(x>0)
          令g′(x)=0,得x=
          1
          2
          ,
          當(dāng)0<x<
          1
          2
          時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù);
          當(dāng)x≥
          1
          2
          時(shí),g′(x)≥0,g(x)為增函數(shù);
          所以g(x)在(0,
          1
          2
          )單調(diào)遞減,在[
          1
          2
          ,+∞)單調(diào)遞增,
          則g(x)的最小值為g(
          1
          2
          )=ln2>0,
          所以f′(x)=g(x)≥g(
          1
          2
          )>0,
          所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).
          (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)在區(qū)間[a,b]⊆[
          1
          2
          ,+∞)遞增,
          ∵f(x)在[a,b]上的值域是[k(a+2),k(b+2)],
          所以f(a)=k(a+2),f(b)=k(b+2),
          1
          2
          ≤a<b,
          則f(x)=k(x+2)在[
          1
          2
          ,+∞)上至少有兩個(gè)不同的正根,
          k=
          f(x)
          x+2
          ,令F(x)=
          f(x)
          x+2
          =
          x2-xlnx+2
          x+2
          (x≥
          1
          2
          )

          求導(dǎo)得,F(xiàn)′(x)=
          x2+3x-2lnx-4
          (x+2)2
          (x≥
          1
          2
          ),
          令G(x)=x2+3x-2lnx-4(x≥
          1
          2

          則G′(x)=2x+3-
          2
          x
          =
          (2x-1)(x+2)
          x
          ≥0

          所以G(x)在[
          1
          2
          ,+∞)遞增,G(
          1
          2
          )<0,G(1)=0,
          當(dāng)x∈[
          1
          2
          ,1]時(shí),G(x)<0,∴F′(x)<0,
          當(dāng)x∈[1,+∞]時(shí),G(x)>0,∴F′(x)>0,
          所以F(x)在[
          1
          2
          ,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增,
          ∴F(1)<k≤F(
          1
          2
          ),
          ∴k∈(1,
          9+2ln2
          10
          ];
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減,利用了轉(zhuǎn)化的思想,此題是一道中檔題;
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R.
          (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
          (2)求函數(shù)f(x)的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0與g(x0)<0同時(shí)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.(注:(ln(x+1))′=
          1x+1
          ).
          (1)討論f(x)的單調(diào)性.
          (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
          (1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實(shí)數(shù)m的值;
          (2)當(dāng)m=2時(shí),若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
          (1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
          (2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)求證:不等式ln
          n+1
          n
          n-1
          n3
          (n∈N*)恒成立.

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