Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且
λ≠-1），
（Ⅰ）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；
（Ⅲ）當(dāng)λ=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）解：由拋物線C的方程，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線PA的方程為，
直線PB的方程為，
點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，
將②式代入①式得=0，
于是，③
又點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，
將⑤式代入④式得，
由已知得，， ⑥
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
由，
將③式和⑥式代入上式得，即，
所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上。
（Ⅲ）解：因?yàn)辄c(diǎn)P（1，-1）在拋物線上，所以a=-1，
拋物線的方程為，
由③式知，
將λ=1代入⑥式得，
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為
，
于是，
，
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，
故必有，
求得k₁的取值范圍為，
又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁滿足，
故當(dāng)；當(dāng)；
所以∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍為。