Question

在平面直角坐標系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.
（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；
（2）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）由題意知知|QF|=|QP|，所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=＞|EF|=2，由橢圓定義法知，Q點的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點實軸長的橢圓，求出，寫出點Q的軌跡方程；（2）設(shè)出M、N點坐標和直線MN方程，代入曲線T的方程，整理成關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系將，用參數(shù)表示出來，利用判別式大于0列出關(guān)于參數(shù)的不等式，再利用題中的向量條件用參數(shù)把P點坐標表示出來，代入曲線T的方程，得出關(guān)于參數(shù)的等式，代入判別式得到關(guān)于的不等式，求出的范圍.
試題解析:（1）點在線段的垂直平分線上，則，又，
則，故可得點的軌跡方程為.
（2）令經(jīng)過點的直線為，則的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
將其代入橢圓方程整理可得
設(shè)，則，故
（1）當時，點關(guān)于原點對稱，則
（2）當時，點不關(guān)于原點對稱，則
由，得，故
則，因為在橢圓上，故
化簡，得，又，故得     ①
又，得       ②
聯(lián)立①②兩式及，得，故且
綜上（1）（2）兩種情況，得實數(shù)的取值范圍是.