Question

【題目】如圖， 平面， 平面， 是等邊三角形， ，

是的中點.

（1）求證： ；

（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：⑴證明， ，推出平面，然后證明

；

⑵以點為坐標(biāo)原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過且與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，說明為直線與平面所成角，設(shè)，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可；

解析：（1）因為是等邊三角形， 是的中點，所.

因為平面， 平面，所以.

因為，所以平面.

因為平面，所以.

（2）法1：以點為坐標(biāo)原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過且與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

因為平面，所以為直線與平面所成角.

得，即，從而.

不妨設(shè)，又，則， .故， ，

， .于是，

， ， ，設(shè)平面與平面的法向量分別為

， ，由得令，得，

所以.由得令得

， .所以.

所以.

所以二面角的余弦值為.

法2：因為平面，所以為直線與平面所成角.

由題意得，即，從而.

不妨設(shè)，又， ， ， .

由于平面， 平面，則.

取的中點，連接，則.

在中， ，

在中， ，

在中， ，

取的中點，連接， ， ，

則， . 所以為二面角的平面角.

在中， ，在中， ，

在中， ，因為，

所以.所以二面角的余弦值