Question

已知定義在R⁺上的函數(shù)f（x）滿足下列條件：①對(duì)定義域內(nèi)任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0；③f（2）=-1
（1）求f（8）的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（3）解不等式：f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3．

Answer 1

分析：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）的值，再令x=2，y=4可得，f（8）的值；
（2）用作差法證明，設(shè)0＜x₁＜x₂＜+∞，則

x2

x1

＞1，結(jié)合題意可得f（

x2

x1

）＜0，f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

），即可得證明；
（3）由（1）可得f（8）=-3，進(jìn)而可將f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3，變形為f（2^x+2）＜f[8•（2^x-4）]，又由f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，可得關(guān)于x的不等式組，解可得答案．

解答：解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）=f（2）+f（2）=-2，
令x=2，y=4可得，f（8）=f（2）+f（4）=-3，
則f（8）=-3；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜+∞，則

x2

x1

＞1，則f（

x2

x1

）＜0，
f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
（3）f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3，即f（2^x+2）-f（2^x-4）＜f（8），
f（2^x+2）＜f（2^x-4）+f（8）=f[8•（2^x-4）]，
又由f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴

2x+2＞8•(2x-4) (2x-4)＞0

解得：2＜x＜3
故2＜x＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)單調(diào)性的判斷，其中熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．