Question

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.

已知函數(shù)；.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）在的值域為，故不存在常數(shù)，使成立

所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。

（2）實數(shù)的取值范圍為。

（3）當(dāng)時，的取值范圍是；

當(dāng)時，的取值范圍是

【解析】[解]：（1）當(dāng)時， 

因為在上遞減，所以，即在的值域為

故不存在常數(shù)，使成立

所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。   ……………4分（沒有判斷過程，扣2分）

（2）由題意知，在上恒成立。………5分

，          

∴   在上恒成立………6分

∴    ………7分

設(shè)，，，由得 t≥1，

設(shè)，

所以在上遞減，在上遞增，………9分（單調(diào)性不證，不扣分）

在上的最大值為，  在上的最小值為 

所以實數(shù)的取值范圍為�！�………………………………11分

（3），∵   m>0  ，      ∴  在上遞減，…12分

∴       即………13分

①當(dāng)，即時，， ………14分

此時  ，………16分②當(dāng)，即時，，

此時  ，   ---------17分

綜上所述，當(dāng)時，的取值范圍是；

當(dāng)時，的取值范圍是………18分