Question

（2012•浦東新區(qū)一模）定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，向量

ON

=λ 

OA

+(1-λ) 

OB

，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λ

a

+（1-λ）

b

，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在[a，b]上滿(mǎn)足“k范圍線性近似”，其中最小的正實(shí)數(shù)k稱(chēng)為該函數(shù)的線性近似閥值．下列定義在[1，2]上函數(shù)中，線性近似閥值最小的是（　�。�

• A．y=x²
• B．y=

  2

  x

• C．y=sin

  π

  3

  x
• D．y=x-

  1

  x

Answer 1

分析：由已知，先得出M、N橫坐標(biāo)相等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，不等式|MN|≤k對(duì)λ∈[0，1]恒成立，最小的正實(shí)數(shù)k應(yīng)為|MN|的最大值．
①對(duì)于函數(shù)y=x²，由A、B是其圖象上橫坐標(biāo)分別為a、b的兩點(diǎn)，則A（1，1），（2，4）∴AB方程為y-1=

4-1

2-1

（x-1），即y=3x-2
|MN|=|x²-（3x-2）|=|（x-

3

2

）²-

1

4

|≤

1

4

，線性近似閥值為

1

4

．
②同樣對(duì)于函數(shù)y=

2

x

，由A（1，2），（2，1），AB方程為y=-x+3，|MN|═-x+3-

2

x

=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，線性近似閥值為3-2

2

．
③同樣對(duì)于函數(shù)y=sin

π

3

x，A（1，

3

2

），B（2，

3

2

），AB方程為y=

3

2

，由三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可知|MN|≤1-

3

2

，線性近似閥值為1-

3

2

，
④同樣對(duì)于函數(shù)y=x-

1

x

，得A（1，0），B（2，

3

2

），
∴直線AB方程為y=

3

2

（x-1）
∴|MN|=x-

1

x

-

3

2

（x-1）=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

，線性近似閥值為

3

2

-

2

．
由于為

1

4

＞3-2

2

＞1-

3

2

＞

3

2

-

2

．所以線性近似閥值最小的是y=x-

1

x

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)最值求解，解答的關(guān)鍵理解新概念，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．