Question

如圖，已知點F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：x²+（y-3）²=1．
（1）若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，求動點M的軌跡E的方程；
（2）過點F的直線g交軌跡E于G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）兩點，求證：x₁x₂ 為定值；
（3）過軌跡E上一點P作圓C的切線，切點為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點P的坐標及S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，可得M到點F的距離與它到直y=-1的距離相等，由拋物線的定義可知M的軌跡是以F為焦點，以y=-1為準線的拋物線，從而可求方程
（2）由題意可得直線g的斜率存在，故可設直線g的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線與拋物線方程，由方程的根與系數(shù)關系可求
（3）設P（x，y），則x²=4y（y≥0），由圓的切線性質可得S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=2×

1

2

×PA×AC=PA=

PC2-1

=

x2+(y-3)2-1

=

y2-2y+8

，由二次函數(shù)的性質可求最小值及取得最小值時的 p

解答：解：（1）由動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，可得M到點F的距離與它到直y=-1的距離相等
由拋物線的定義可知M的軌跡是以F為焦點，以y=-1為準線的拋物線
其方程為x²=4y
（2）由題意可得直線g的斜率存在，故可設直線g的方程為y=kx+1
聯(lián)立方程

y=kx+1 x2=4y

  整理可得 x²-4kx-4=0
由方程的根與系數(shù)關系可得x₁x₂=-4
 （3）設P（x，y），則x²=4y（y≥0）
由圓的切線的性質可得PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB
S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=2×

1

2

×PA×AC=PA
=

PC2-1

=

x2+(y-3)2-1

=

y2-2y+8

=

(y-1)2+7

≥

7

∴P（±2，1），Smin=

7

點評：本題主要考查了利用拋物線的定義求解拋物線的方程，方程的根與系數(shù)關系的應用，圓的切線性質的應用及利用二次函數(shù)的性質求解函數(shù)的最值等知識的綜合應用．