【題目】已知曲線y=x+ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=________
【答案】a=8
【解析】∵y′=1+,∴y′|x=1=2,∴y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),∴y=2x-1.又切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,當(dāng)a=0時(shí),y=2x+1與y=2x-1平行,故a≠0,由
得ax2+ax+2=0,∵Δ=a2-8a=0,∴a=8.
一題多解: ∵y′=1+,∴y′|x=1=2,∴y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),∴y=2x-1,又切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,當(dāng)a=0時(shí),y=2x+1與y=2x-1平行,故a≠0.∵y′=2ax+(a+2),∴令2ax+a+2=2,得x=-
,代入y=2x-1,得y=-2,∴點(diǎn)
在y=ax2+(a+2)x+1的圖象上,故-2=a×
2+(a+2)×
+1,∴a=8.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱中,
,∠ACB=90°,M是
的中點(diǎn),N是
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:MN∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量,
.
(1)若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6),先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求滿足
的概率;
(2)若在連續(xù)區(qū)間
上取值,求滿足
的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)若,判斷
的單調(diào)性;
(Ⅲ)若有兩個(gè)零點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京大學(xué)從參加逐夢(mèng)計(jì)劃自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六組,
,…,
后得到如下部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率;
(2)估計(jì)本次考試成績(jī)的中位數(shù)(結(jié)果四舍五入,保留整數(shù));
(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2人,求至多有
人在分?jǐn)?shù)段
內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:
的左、右焦點(diǎn)分別為
,上頂點(diǎn)為
,過(guò)點(diǎn)
與
垂直的直線交
軸負(fù)半軸于點(diǎn)
,且
.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若過(guò)、
、
三點(diǎn)的圓恰好與直線
:
相切,求橢圓
的方程;
(III)在(Ⅱ)的條件下,過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為
的直線
與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),在
軸上是否存在點(diǎn)
使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出
的取值范圍,如果不存在,說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面
為直角梯形,
平面
,側(cè)面
是等腰直角三角形,
,
,點(diǎn)
是棱
的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面
;
(2)求銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某禮品店要制作一批長(zhǎng)方體包裝盒,材料是邊長(zhǎng)為的正方形紙板.如圖所示,先在其中相鄰兩個(gè)角處各切去一個(gè)邊長(zhǎng)是
的正方形,然后在余下兩個(gè)角處各切去一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為
、
的矩形,再將剩余部分沿圖中的虛線折起,做成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體包裝盒.
(1)求包裝盒的容積關(guān)于
的函數(shù)表達(dá)式,并求函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)為多少時(shí),包裝盒的容積最大?最大容積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(題文)(題文)“你低碳了嗎?”這是某市為倡導(dǎo)建設(shè)節(jié)約型社會(huì)而發(fā)布的公益廣告里的一句話,活動(dòng)組織者為了了解這則廣告的宣傳效果,隨機(jī)抽取了120名年齡在,
,…,
的市民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,由此得到的樣本的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)根據(jù)直方圖填寫(xiě)頻率分布統(tǒng)計(jì)表;
(2)根據(jù)直方圖,試估計(jì)受訪市民年齡的中位數(shù)(保留整數(shù));
(3)如果按分層抽樣的方法,在受訪市民樣本年齡在中共抽取5名市民,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選2人作為本次活動(dòng)的獲獎(jiǎng)?wù),求年齡在
和
的受訪市民恰好各有一人獲獎(jiǎng)的概率.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
18 | 0.15 | |
30 | ||
0.2 | ||
6 | 0.05 |
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