Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的右準(zhǔn)線方程為x＝2，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．

（1）求橢圓C的方程；

（2）假設(shè)直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓C于N，并且，求OB的長(zhǎng)；②若原點(diǎn)O到直線l的距離為1，并且，當(dāng)時(shí)，求△OAB的面積S的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2，b2；

（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域．

（1）因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以，

又由右準(zhǔn)線方程為，得到，

解得，所以

所以，橢圓的方程為

（2）①設(shè)，而，則，

∵ ， ∴

因?yàn)辄c(diǎn)都在橢圓上，所以

，將下式兩邊同時(shí)乘以再減去上式，解得，

所以

②由原點(diǎn)到直線的距離為，得，化簡(jiǎn)得：

聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程：，得

設(shè)，則，且

，

所以

的面積

，

因?yàn)?/span>在為單調(diào)減函數(shù)，

并且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以的面積的范圍為．