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        1. 已知與圓C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,且|OA|=a,|OB|=b
          (a>2,b>2).
          (1)求直線l與圓C相切的條件;
          (2)在(1)的條件下,求線段AB的中點軌跡方程;
          (3)在(1)的條件下,求△AOB面積的最小值.
          分析:(1)由已知中圓C:x2+y2-2x-2y+1=0,直線交x軸、y軸于A、B兩點|OA|=a,|OB|=b,我們設(shè)以分別求出直線的一般方程,和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)直線與圓相切,圓心到直線的距離等于半徑得到結(jié)論;
          (2)設(shè)線段AB的中點M(x,y),代入(1)的結(jié)論,整理后,即可得到答案;
          (3)S△AOB=
          1
          2
          |ab|
          ,結(jié)合(1)的結(jié)論,及均值不等式,即可得到答案.
          解答:解:設(shè)直線l的方程為
          x
          a
          +
          y
          b
          =1
          ,即bx+ay-ab=0,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心C(1,1),半徑r=1.
          (1)直線l與圓C相切,則
          |b+a-ab|
          a2+b2
          =1
          ,∴(a-2)(b-2)=2(4分)
          (2)設(shè)線段AB的中點M(x,y),則x=
          a
          2
          ,y=
          b
          2
          ,即a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2,得(x-1)(y-1)=
          1
          2
          (x>1,y>1)
          (8分)
          (3)S△AOB=
          1
          2
          |ab|=a+b-1
          =(a-2)+(b-2)+3≥2
          (a-2)(b-2)
          +3=2
          2
          +3

          當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+
          2
          時,△AOB的面積最小,最小值為2
          2
          +3
          點評:本題考查的知識點是直線和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系,考查的解題方法為坐標(biāo)法,難度中等.
          練習(xí)冊系列答案
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          2xy-2x-2y-1=0(x>0,y>0)
          2xy-2x-2y-1=0(x>0,y>0)

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          已知與圓C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,且|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).
          (1)求a與b滿足的關(guān)系;
          (2)在 (1)的條件下,求線段AB中點的軌跡方程.

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          已知與圓C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸,y軸于A,B兩點,

          OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).

          (Ⅰ)求證:(a-2)(b-2)=2;

          (Ⅱ)求線段AB中點的軌跡方程;

          (Ⅲ)求△AOB面積的最小值.

           

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          同步練習(xí)冊答案