Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項為a，公差為b，等比數(shù)列{b_n}的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的整數(shù)，n∈N^*．
（1）若a₁＜b₁，b₃＜a₂+a₃，求a，b的值；
（2）若a=2，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n，記c_n=T_n-λS_n（λ是實常數(shù)）．
①若數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，求λ的值；②若c_n+1＞c_n對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，1＜a＜b，ba²＜a+b+a+2b=2a+3b＜5b即a²＜5，a＞1且a為整數(shù)可求a然后由，4b＜2a+3b即b＜2a=4，b為整數(shù)可求b
（2）若a=2，則由題意可求，Sn=

b(1-2n)

1-2

=b(2n-1)，T_n=b（2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1）=b（2ⁿ⁺¹-n-2）
C_n=T_n-λS_n=b[（2-λ）2ⁿ+λ-2-n]，可得C_n+1-C_n=b[（2-λ）2ⁿ⁺¹+λ-2]-b[（2-λ）2ⁿ+λ-2]=b•[（2-λ）•2ⁿ-1]
①若數(shù)列為等差數(shù)列，則b•（2-λ）•2ⁿ為常數(shù)，可求λ
②若C_n+1＞C_n，則b[（2-λ）2ⁿ-1]＞0，可求λ得范圍

解答：解：（1）由題意可得，1＜a＜b，
∵b₃＜a₂+a₃∴ba²＜a+b+a+2b=2a+3b＜5b
即a²＜5，a＞1且a為整數(shù)
∴a=2，4b＜2a+3b即b＜2a=4，b為整數(shù)，故b=3
即a=2，b=3
（2）若a=2，則由題意可得，Sn=

b(1-2n)

1-2

=b(2n-1)，
T_n=b（2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1=b•（

2(1-2n)

1-2

-n）=b•（（2ⁿ⁺¹-2-n）
∴C_n=T_n-λS_n=b•（2ⁿ⁺¹-2-n）-λb•（2ⁿ-1）=b[（2-λ）2ⁿ+λ-2-n]
∴C_n+1-C_n=b[（2-λ）2ⁿ⁺¹+λ-2-（n+1）]-b[（2-λ）2ⁿ+λ-2-n]=b•[（2-λ）•2ⁿ-1]
①若數(shù)列為等差數(shù)列，則b•（2-λ）•2ⁿ為常數(shù)，而由于2ⁿ為變量，故b（2-λ）=0，
∵b＞1
∴λ=2
②若C_n+1＞C_n，則b[（2-λ）2ⁿ-1]＞0，從而可得，2-λ＞

1

2n

恒成立
∴2-λ＞

1

2

∴λ＜

3

2

點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列中利用基本量表示數(shù)列中的項，這是數(shù)列部分考查的最基本的試題類型，而等差數(shù)列得定義與數(shù)列單調(diào)性的定義的應(yīng)用是解決（2）的關(guān)鍵．