Question

【題目】如圖，六面體ABCDHEFG中，四邊形ABCD為菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3。

(1)求證：EG⊥DF；

(2)求BE與平面EFGH所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：(1)證明：連接AC，由AE CG可知四邊形AEGC為平行四邊形．

所以EG∥AC，而AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，

因為BD∩BF＝B，所以EG⊥平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EG⊥DF。

(2)設AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以P為EG的中點，O為AC的中點，所以OP綊AE，

從而OP⊥平面ABCD，

又OA⊥OB，所以OA，OB，OP兩兩垂直，由平面幾何知識，得BF＝2。

如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，則B(0，2，0)，E(2，0，3)，F(xiàn)(0，2，2)，P(0，0，3)，

所以＝(2，－2，3)，＝(2，0，0，)，＝(0，2，－1)．

設平面EFGH的法向量為n＝(x，y，z)，

可得

令y＝1，則z＝2。

所以n＝(0，1，2)．

設BE與平面EFGH所成角為θ，則sin θ＝＝。