Question

已知關(guān)于x的不等式：

(a+1)x-3

x-1

＜1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解該不等式；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，解該不等式．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=1代入不等式，把右邊的1移項(xiàng)到左邊，通分后，根據(jù)兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)的取符號(hào)法則得到x-2與x-1異號(hào)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，求出兩不等式組解集的并集即可得到原不等式的解集；
（2）把原不等式的右邊的1移項(xiàng)到左邊，通分合并后，根據(jù)兩數(shù)相除異號(hào)得負(fù)的取符號(hào)法則及a大于0，得到ax-2與x-1異號(hào)，先求出（ax-2）（x-1）=0的兩個(gè)解分別為

2

a

和1，根據(jù)求出的兩解相等，求出a的值，得到此時(shí)原不等式無(wú)解；根據(jù)

2

a

大于1，求出此時(shí)a的范圍，根據(jù)不等式取解集的方法可得a的范圍；同理

2

a

小于1時(shí)，求出相應(yīng)的a的范圍，綜上，得到原不等式的解集．

解答：解：（1）把a(bǔ)=1代入原不等式得：

2x-3

x-1

＜1，即

x-2

x-1

＜0，
可化為：

x-2＞0 x-1＜0

或

x-2＜0 x-1＞0

，
解得：1＜x＜2，
則原不等式的解集為（1，2）；
（2）a＞0時(shí)，

(a+1)x-3

x-1

＜1?

ax-2

x-1

＜0?(ax-2)(x-1)＜0，
令方程（ax-2）（x-1）=0，解得：x1=

2

a

，x2=1，
綜上：①當(dāng)

2

a

=1，即a=2時(shí)，解集為∅；
②當(dāng)

2

a

＞1即0＜a＜2時(shí)，解集為：{x|1＜x＜

2

a

}；
③當(dāng)

2

a

＜1即a＞2時(shí)，解集為：{x|

2

a

＜x＜1}；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是高考�？嫉念}型．本題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)為：兩數(shù)相乘（除）：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)的取符號(hào)法則．